De un rectángulo de $n\times (n-1)$ dividido en cuadrados unitarios, cortamos la esquina, que consiste en la primera fila y la primera columna. (es decir, la esquina tiene $2n-2$ cuadrados unitarios). Para lo siguiente, cuando decimos esquina nos referimos a la definición anterior, junto con rotaciones y simetrías. Considere una red infinita de cuadrados unitarios. Colorearemos los cuadrados con $k$ colores, de tal manera que para cualquier esquina, los cuadrados en esa esquina estén coloreados de manera diferente (eso significa que no hay cuadrados coloreados con el mismo color). Averigüe el mínimo de $k$.

Sea $ABC$ un triángulo, $G$ su centroide, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio del arco $\widehat{AC}$ (que no contiene a $B$). Se sabe que $MG=R$, donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita. Demostrar que $BG\geq BH$.

Hay 100 boxeadores, cada uno de ellos con diferentes fortalezas, que participan en un torneo. Cualquiera de ellos lucha entre sí sólo una vez. Varios boxeadores forman un complot. En uno de sus combates, esconden una herradura en su guante. Si en una pelea, sólo uno de los boxeadores tiene una herradura escondida, gana la pelea; de lo contrario, el boxeador más fuerte gana. Se sabe que hay tres boxeadores que obtuvieron (estrictamente) más victorias que los tres boxeadores más fuertes. ¿Cuál es el número mínimo de conspiradores?

Encontrar todas las funciones $f: (0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$ con las siguientes propiedades: $f(x+1)=f(x)+1$ y $f\left(\frac{1}{f(x)}\right)=\frac{1}{x}$.

Se da una línea $d$ en el plano. Sea $B\in d$ y $A$ otro punto, no en $d$, y tal que $AB$ no es perpendicular a $d$. Sea $\omega$ un círculo variable que toca a $d$ en $B$ y dejando $A$ fuera, y $X$ e $Y$ los puntos en $\omega$ tales que $AX$ e $AY$ son tangentes al círculo. Demostrar que la línea $XY$ pasa por un punto fijo.

Llamamos a una secuencia de enteros una secuencia de tipo Fibonacci si es infinita en ambos sentidos y $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ para cualquier $n\in\mathbb{Z}$. ¿Cuántas secuencias de tipo Fibonacci podemos encontrar, con la propiedad de que en estas secuencias hay dos términos consecutivos, estrictamente positivos, y menores o iguales que $N$? (dos secuencias se consideran iguales si difieren sólo por un desplazamiento de índices)

Se dan siete primos impares diferentes. ¿Es posible que para dos de ellos, la diferencia de sus octavas potencias sea divisible por todos los restantes?

Una permutación $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2n}\}$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, 2n\}$ donde $ n$ es un entero positivo, se dice que tiene la propiedad $ T$ si $ |x_i - x_{i + 1}| = n$ para al menos un $ i$ en $ \{1,2, \ldots, 2n - 1\}.$ Demostrar que, para cada $ n$ , hay más permutaciones con la propiedad $ T$ que sin ella.

Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores, Alicia y Bob, están jugando el siguiente juego: - Alicia elige $n$ números reales; no necesariamente distintos. - Alicia escribe todas las sumas por pares en una hoja de papel y se la da a Bob. (Hay $\frac{n(n-1)}{2}$ tales sumas; no necesariamente distintas.) - Bob gana si encuentra correctamente los $n$ números iniciales elegidos por Alicia con sólo una suposición. ¿Puede Bob estar seguro de ganar para los siguientes casos? a. $n=5$ b. $n=6$ c. $n=8$ Justifica tu(s) respuesta(s). [Por ejemplo, cuando $n=4$, Alicia puede elegir los números 1, 5, 7, 9, que tienen las mismas sumas por pares que los números 2, 4, 6, 10, y por lo tanto Bob no puede estar seguro de ganar.]

Demuestra que \[\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16\] para todos los números reales positivos $a$ y $b$ tales que $ab\geq 1$.