Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Una línea $r$ que pasa por $I$ interseca las circunferencias circunscritas de los triángulos $AIB$ y $AIC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestre que el circuncentro del triángulo $APQ$ está en la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Para cada conjunto de cinco enteros $S= \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\} $, sea $P_S$ el producto de todas las diferencias entre dos de los elementos, es decir\n$$P_S=(a_5-a_1)(a_4-a_1)(a_3-a_1)(a_2-a_1)(a_5-a_2)(a_4-a_2)(a_3-a_2)(a_5-a_3)(a_4-a_3)(a_5-a_4)$$\nDetermine el mayor entero $n$ tal que dado cualquier conjunto $S$ de cinco enteros, $n$ divide a $P_S$.

Determine todas las progresiones geométricas tales que el producto de los tres primeros términos es $64$ y la suma de ellos es $14$.

Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación $2x^2-y^{14}=1$.

Se dibujan triángulos equiláteros $ACB'$ y $BDC'$ en las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$ de modo que $B$ y $B'$ estén en el mismo lado de $AC$, y $C$ y $C'$ estén en los mismos lados de $BD$. Encuentra $\angle BAD + \angle CDA$ si $B'C' = AB+CD$.

¿Existen enteros $m, n$ y una función $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ que satisfagan simultáneamente las siguientes dos condiciones?\n$\bullet$ i) $f(f(x))=2f(x)-x-2$ para cualquier $x \in \mathbb R$ ;\n$\bullet$ ii) $m \leq n$ y $f(m)=n$.

Sean $P, Q,R$ tres polinomios con coeficientes reales tales que \[P(Q(x)) + P(R(x))=\text{constante}\] para todo $x$. Demuestre que $P(x)=\text{constante}$ o $Q(x)+R(x)=\text{constante}$ para todo $x$.

Un conjunto de cuadrados (unitarios) de una tabla de $n\times n$ se llama conveniente si cada fila y cada columna de la tabla contiene al menos dos cuadrados pertenecientes al conjunto. Para cada $n\geq 5$ determine el máximo $m$ para el cual existe un conjunto conveniente hecho de $m$ cuadrados, que se vuelve inconveniente cuando se elimina cualquiera de sus cuadrados.

Dado un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $D$ un punto interior arbitrario del lado $AB$. Sean $M$ y $N$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a $BC$ y $AC$, respectivamente. Sean $H_1$ y $H_2$ los ortocentros de los triángulos $MNC$ y $MND$, respectivamente. Demuestre que el área del cuadrilátero $AH_1BH_2$ no depende de la posición de $D$ en $AB$.

Para un entero positivo, definimos su conjunto de exponentes como la lista no ordenada de todos los exponentes de los primos, en su descomposición. Por ejemplo, $18=2\cdot 3^{2}$ tiene su conjunto de exponentes $1,2$ y $300=2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}$ tiene su conjunto de exponentes $1,2,2$. Se dan dos progresiones aritméticas $\big(a_{n}\big)_{n}$ y $\big(b_{n}\big)_{n}$, tales que para cualquier entero positivo $n$, $a_{n}$ y $b_{n}$ tienen el mismo conjunto de exponentes. Demostrar que las progresiones son proporcionales (es decir, existe $k$ tal que $a_{n}=kb_{n}$ para cualquier $n$).