Sean $T_1, T_2, T_3, T_4$ puntos colineales distintos por pares tales que $T_2$ se encuentra entre $T_1$ y $T_3$ , y $T_3$ se encuentra entre $T_2$ y $T_4$ . Sea $\omega_1$ un círculo que pasa por $T_1$ y $T_4$ ; sea $\omega_2$ el círculo que pasa por $T_2$ y es internamente tangente a $\omega_1$ en $T_1$ ; sea $\omega_3$ el círculo que pasa por $T_3$ y es externamente tangente a $\omega_2$ en $T_2$ ; y sea $\omega_4$ el círculo que pasa por $T_4$ y es externamente tangente a $\omega_3$ en $T_3$ . Una recta cruza $\omega_1$ en $P$ y $W$ , $\omega_2$ en $Q$ y $R$ , $\omega_3$ en $S$ y $T$ , y $\omega_4$ en $U$ y $V$ , el orden de estos puntos a lo largo de la recta siendo $P,Q,R,S,T,U,V,W$ . Demuestre que $PQ + TU = RS + VW$

Sea $p$ un número primo. Demuestre que existe un número primo $q$ tal que para todo entero $n$ , el número $n^p-p$ no es divisible por $q$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$, cuyo incentro es $I$. Sea $P$ un punto en la circunferencia circunscrita del triángulo $AIB$ que se encuentra dentro del triángulo $ABC$. Las rectas que pasan por $P$ paralelas a $CA$ y $CB$ se encuentran con $AB$ en $D$ y $E$, respectivamente. La recta que pasa por $P$ paralela a $AB$ se encuentra con $CA$ y $CB$ en $F$ y $G$, respectivamente. Pruebe que las rectas $DF$ y $EG$ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Sean $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$, $\Gamma_4$ círculos distintos tales que $\Gamma_1$, $\Gamma_3$ son externamente tangentes en $P$, y $\Gamma_2$, $\Gamma_4$ son externamente tangentes en el mismo punto $P$. Suponga que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$; $\Gamma_2$ y $\Gamma_3$; $\Gamma_3$ y $\Gamma_4$; $\Gamma_4$ y $\Gamma_1$ se encuentran en $A$, $B$, $C$, $D$, respectivamente, y que todos estos puntos son diferentes de $P$. Pruebe que \[\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot DC}=\frac{PB^2}{PD^2}.\]

Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en su interior. Denote por $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las rectas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Suponga que \[AP^2 + PD^2 = BP^2 + PE^2 = CP^2 + PF^2.\] Denote por $I_A$, $I_B$, $I_C$ los excentros del triángulo $ABC$. Pruebe que $P$ es el circuncentro del triángulo $I_AI_BI_C$.

Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[ \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \] es un entero positivo.

Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$ . Demuestre que existen números $t_1$ , $t_2, \ldots, t_{100}$ en $S$ tales que los conjuntos \[ A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \] son disjuntos dos a dos.

Un entero positivo $n$ se llama $oeirense$ si existen dos enteros positivos $a$ y $b$, no necesariamente distintos, tales que $n=a^2+b^2$. Determine el mayor entero $k$ tal que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n$, $n+1$, $\dots$, $n+k$ son oeirenses.

En un tablero de $9\times9$, los cuadrados están etiquetados del 11 al 99, con el primer dígito indicando la fila y el segundo dígito indicando la columna. Se desea pintar los cuadrados de blanco o negro de manera que cada cuadrado negro sea adyacente a lo sumo a otro cuadrado negro y cada cuadrado blanco sea adyacente a lo sumo a otro cuadrado blanco. Dos cuadrados son adyacentes si comparten un lado común. ¿De cuántas maneras se puede pintar el tablero de manera que los cuadrados $44$ y $49$ sean ambos negros?

En la figura, los triángulos $ABC$ y $CDE$ son equiláteros, con lados de longitud $1$ y $4$, respectivamente. Además, $B$, $C$ y $D$ son colineales y $F$ y $G$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de $AF$ y $BE$. Determine el área del triángulo sombreado $BPG$.