Determina todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $a + b + (gcd (a, b))^2 = lcm (a, b) = 2 \cdot lcm(a - 1, b)$, donde $lcm (a, b)$ denota el mínimo común múltiplo, y $gcd (a, b)$ denota el máximo común divisor de los números $a, b$.

Los puntos diferentes $A$ y $D$ están en el mismo lado de la línea $BC$, con $|AB| = |BC| = |CD|$ y las líneas $AD$ y $BC$ son perpendiculares. Sea $E$ el punto de intersección de las líneas $AD$ y $BC$. Prueba que $||BE| - |CE|| < |AD| \sqrt3$

Quitamos el cuadrado central de $2 \times 2$ de un tablero de $8 \times 8$. a) ¿Cuántas damas se pueden colocar en las $60$ casillas restantes para que no haya dos que se amenacen? b) ¿Cuántas damas al menos se pueden colocar en el tablero para que amenacen todas las $60$ casillas? (Una dama está amenazando la casilla en la que se encuentra, así como cualquier casilla a la que pueda llegar en un movimiento sin pasar por ninguna de las cuatro casillas eliminadas).

Sea $I$ el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC$ y $M$ el centro de su lado $BC$. Si $|AI| = |MI|$, prueba que hay dos de los lados del triángulo $ABC$, de los cuales uno es el doble del otro.

Determina todos los números naturales $n > 1$ con la propiedad: Para cada divisor $d > 1$ del número $n$, entonces $d - 1$ es un divisor de $n - 1$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ACB=90^o$. Sean $E, F$ respectivamente los puntos medios de $BC, AC$ y $CD$ su altura. Luego, sea $P$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo interno desde $A$ y la línea $EF$. Prueba que $P$ es el centro del círculo inscrito en el triángulo $CDE$.

Los números reales $x, y$ satisfacen la desigualdad $x^2 + y^2 \le 2$. Prueba que $xy + 3 \ge 2x + 2y$.

Decide si los vértices de un $30$ - gono regular se pueden numerar con los números $1, 2,.., 30$ de tal manera que la suma de los números de cada dos vecinos sea el cuadrado de un cierto número natural.

En el triángulo rectángulo $ABC$ con el lado más corto $AC$, la hipotenusa $AB$ tiene longitud $12$. Denota $T$ su centroide y $D$ el pie de la altura desde el vértice $C$. Determina el tamaño de su ángulo interno en el vértice $B$ para el cual el triángulo $DTC$ tiene la mayor área posible.

De un grupo de 120 personas, algunos pares son amigos. Un cuarteto débil es un conjunto de cuatro personas que contiene exactamente un par de amigos. ¿Cuál es el número máximo posible de cuartetos débiles?