Sea $n$ un entero positivo par. Demuestra que existe una permutación $\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ de $\left(1,\,2,\,\ldots,n\right)$ tal que para cada $i\in\left\{1,\ 2,\ ...,\ n\right\}$ , el número $x_{i+1}$ es uno de los números $2x_{i}$ , $2x_{i}-1$ , $2x_{i}-n$ , $2x_{i}-n-1$ . Por la presente, utilizamos la convención de subíndices cíclicos, de modo que $x_{n+1}$ significa $x_{1}$ .

Sea $r\geq2$ un entero positivo fijo, y sea $F$ una familia infinita de conjuntos, cada uno de tamaño $r$ , de los cuales no hay dos disjuntos. Demuestra que existe un conjunto de tamaño $r-1$ que se cruza con cada conjunto en $F$ .

Sea $T$ el conjunto de ternas ordenadas $(x,y,z)$ , donde $x,y,z$ son enteros con $0\leq x,y,z\leq9$ . Los jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego de adivinanzas. El jugador $A$ elige una terna $(x,y,z)$ en $T$ , y el jugador $B$ tiene que descubrir la terna de $A$ en el menor número de movimientos posible. Un movimiento consiste en lo siguiente: $B$ le da a $A$ una terna $(a,b,c)$ en $T$ , y $A$ responde dándole a $B$ el número $\left|x+y-a-b\right |+\left|y+z-b-c\right|+\left|z+x-c-a\right|$ . Encuentra el número mínimo de movimientos que $B$ necesita para estar seguro de determinar la terna de $A$.

Sea $A$ un conjunto no vacío de enteros positivos. Supongamos que hay enteros positivos $b_1,\ldots b_n$ y $c_1,\ldots,c_n$ tales que - para cada $i$ el conjunto $b_iA+c_i=\left\{b_ia+c_i\colon a\in A\right\}$ es un subconjunto de $A$ , y - los conjuntos $b_iA+c_i$ y $b_jA+c_j$ son disjuntos siempre que $i\ne j$ Demuestra que \[{1\over b_1}+\,\ldots\,+{1\over b_n}\leq1.\]

Sea $n$ un entero positivo que no es un cubo perfecto. Define números reales $a,b,c$ por \[a=\root3\of n\kern1.5pt,\qquad b={1\over a-[a]}\kern1pt,\qquad c={1\over b-[b]}\kern1.5pt,\] donde $[x]$ denota la parte entera de $x$ . Demuestra que hay infinitos enteros $n$ con la propiedad de que existen enteros $r,s,t$ , no todos cero, tales que $ra+sb+tc=0$ .

Encuentra todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \] para todo real $x,y,z,t$ .

Sea $P$ un polinomio cúbico dado por $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , donde $a,b,c,d$ son enteros y $a\ne0$ . Supongamos que $xP(x)=yP(y)$ para infinitos pares $x,y$ de enteros con $x\ne y$ . Demuestra que la ecuación $P(x)=0$ tiene una raíz entera.

Sea $k$ un número natural arbitrario. Sea $\{m_1,m_2,\ldots{},m_k\}$ una permutación de $\{1,2,\ldots{},k\}$ tal que $a_{m_1} < a_{m_2} < \cdots{} < a_{m_k}$ . Notemos que nunca podemos tener igualdad ya que $|a_{m_i} - a_{m_{i+1}}| \ge \frac{1}{m_i+m_{i+1}}$ . Sea $\overline{a_ia_j} = |a_i-a_j|$ . Viendo los $a_i$ como un conjunto de intervalos en $[0,c]$ , tiene sentido que $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} = \sum \limits_{i=1}^{k-1} \overline{a_{m_i}a_{m_{i+1}}}$ . $\overline{a_{m_i}a_{m_k}} \ge \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac{1}{m_i+m_{i+1}}$ . Por la desigualdad de las Medias Aritmética y Armónica, $\frac{(a_1+a_2) + (a_2+a_3) + \ldots{} + (m_{k-1}+m_k)}{k-1} \ge \frac{k-1}{\frac{1}{m_1+m_2} + \ldots{} + \frac{1}{m_{k-1}+m_k}}$ . $(m_1+2m_2+\ldots{}+2m_{k-1}+2m_k)\left(\frac{1}{m_1+m_2} + \ldots{} + \frac{1}{m_{k-1}+m_k}\right) \ge (k-1)^2$ . $(\overline{a_{m_1}a_{m_k}})(m_1+2m_2+\ldots{}+2m_{k-1}+m_k) \ge (k-1)^2$ . El término derecho del lado izquierdo es menor que $2(m_1+m_2+\ldots{}+m_k)$ : $2\overline{a_{m_1}a_{m_k}}(m_1+m_2+\ldots{}+m_k) > (k-1)^2$ Ya que $\{m_1,m_2,\ldots{},m_k\}$ es una permutación de $\{1,2,\ldots{},k\}$ , $2\overline{a_{m_1}a_{m_k}} \cdot \frac{k(k+1)}{2} > (k-1)^2$ . $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} > \frac{(k-1)^2}{k(k+1)} = \frac{k-1}{k} \cdot \frac{k-1}{k+1} > \left(\frac{k-1}{k+1}\right)^2 = \left(1-\frac{2}{k+1}\right)^2$ . Si $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} < 1$ para todo $k \in \mathbb N$ , podemos encontrar fácilmente un $k$ tal que $\left(1-\frac{2}{k+1}\right)^2 > \overline{a_{m_1}a_{m_k}}$ , causando una contradicción. Así que $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} \ge 1$ para algunos enteros $m_1$ , $m_k$ . $|a_{m_1}-a_{m_k}| \ge 1$ . Ya que ambos términos son positivos, es claro que al menos uno de ellos es mayor o igual que $1$ . Así que $c \ge 1$ , como queríamos.

Hallar todos los pares de enteros positivos $m,n\geq3$ para los cuales existen infinitos enteros positivos $a$ tales que \[ \frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} \] sea un entero.

Sean $m,n\geq2$ enteros positivos, y sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ enteros, ninguno de los cuales es múltiplo de $m^{n-1}$ . Demuestra que existen enteros $e_1,e_2,\ldots,e_n$ , no todos cero, con $\left|{\,e}_i\,\right|<m$ para todo $i$ , tales que $e_1a_1+e_2a_2+\,\ldots\,+e_na_n$ es un múltiplo de $m^n$ .