¿Existe un entero positivo $m$ tal que la ecuación \[ {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over abc}={m\over a+b+c} \] tiene infinitas soluciones en enteros positivos $a,b,c$ ?

Sean $p_1,p_2,\ldots,p_n$ primos distintos mayores que $3$ . Demuestra que $2^{p_1p_2\cdots p_n}+1$ tiene al menos $4^n$ divisores.

Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión infinita de números reales, para la cual existe un número real $c$ con $0\leq a_i\leq c$ para todo $i$ , tal que \[\left\lvert a_i-a_j \right\rvert\geq \frac{1}{i+j} \quad \text{para todo }i,\ j \text{ con } i \neq j. \] Demostrar que $c\geq1$ .

Hallar todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que \[f\left(f(x)+y\right)=2x+f\left(f(y)-x\right)\] para todo real $x,y$ .

Sean dos círculos $S_{1}$ y $S_{2}$ que se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . Una línea que pasa por $A$ se encuentra con $S_{1}$ de nuevo en $C$ y con $S_{2}$ de nuevo en $D$ . Sean $M$ , $N$ , $K$ tres puntos en los segmentos de línea $CD$ , $BC$ , $BD$ respectivamente, con $MN$ paralelo a $BD$ y $MK$ paralelo a $BC$ . Sean $E$ y $F$ puntos en esos arcos $BC$ de $S_{1}$ y $BD$ de $S_{2}$ respectivamente que no contienen $A$ . Dado que $EN$ es perpendicular a $BC$ y $FK$ es perpendicular a $BD$ , demuestre que $\angle EMF=90^{\circ}$ .

El incírculo $ \Omega$ del triángulo acutángulo $ ABC$ es tangente a su lado $ BC$ en un punto $ K$ . Sea $ AD$ una altura del triángulo $ ABC$ , y sea $ M$ el punto medio del segmento $ AD$ . Si $ N$ es el punto común del círculo $ \Omega$ y la línea $ KM$ (distinto de $ K$ ) , entonces demuestre que el incírculo $ \Omega$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ BCN$ son tangentes entre sí en el punto $ N$ .

Sea $n\geq3$ un entero positivo. Sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ círculos unitarios en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ respectivamente. Si ninguna línea se encuentra con más de dos de los círculos, demuestre que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}. \]

Para cualquier conjunto $S$ de cinco puntos en el plano, de los cuales no hay tres que sean colineales, sea $M(S)$ y $m(S)$ denotan las \'areas mayor y menor, respectivamente, de los tri\'angulos determinados por tres puntos de $S$ . ¿Cu\'al es el valor m\'inimo posible de $M(S)/m(S)$ ?

Los c\'irculos $S_1$ y $S_2$ se intersecan en los puntos $P$ y $Q$ . Se seleccionan puntos distintos $A_1$ y $B_1$ (no en $P$ o $Q$ ) en $S_1$ . Las l\'ineas $A_1P$ y $B_1P$ se encuentran con $S_2$ nuevamente en $A_2$ y $B_2$ respectivamente, y las l\'ineas $A_1B_1$ y $A_2B_2$ se encuentran en $C$ . Demuestre que, a medida que $A_1$ y $B_1$ var\'ian, los circuncentros de los tri\'angulos $A_1A_2C$ se encuentran en un c\'irculo fijo.

El c\'irculo $S$ tiene centro $O$ , y $BC$ es un di\'ametro de $S$ . Sea $A$ un punto de $S$ tal que $\angle AOB<120{{}^\circ}$ . Sea $D$ el punto medio del arco $AB$ que no contiene a $C$ . La l\'inea que pasa por $O$ paralela a $DA$ se encuentra con la l\'inea $AC$ en $I$ . La bisectriz perpendicular de $OA$ se encuentra con $S$ en $E$ y en $F$ . Pruebe que $I$ es el incentro del tri\'angulo $CEF.$