Sea $ABC$ un triángulo para el cual existe un punto interior $F$ tal que $\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA$. Sean las líneas $BF$ y $CF$ que se encuentran con los lados $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$ respectivamente. Demuestre que \[ AB+AC\geq4DE. \]

Sea $B$ un punto en un círculo $S_1$, y sea $A$ un punto distinto de $B$ en la tangente a $S_1$ en $B$. Sea $C$ un punto que no está en $S_1$ tal que el segmento de línea $AC$ se encuentra con $S_1$ en dos puntos distintos. Sea $S_2$ el círculo que toca a $AC$ en $C$ y que toca a $S_1$ en un punto $D$ en el lado opuesto de $AC$ desde $B$. Pruebe que el circuncentro del triángulo $BCD$ se encuentra en la circunferencia del triángulo $ABC$.

Sea $AB$ un diámetro de un círculo; sean $t_1$ y $t_2$ las tangentes en $A$ y $B$, respectivamente; sea $C$ cualquier punto distinto de $A$ en $t_1$; y sean $D_1D_2. E_1E_2$ arcos en el círculo determinados por dos líneas que pasan por $C$. Pruebe que las líneas $AD_1$ y $AD_2$ determinan un segmento en $t_2$ de igual longitud al del segmento en $t_2$ determinado por $AE_1$ y $AE_2$.

Sea $S$ un conjunto de 1980 puntos en el plano tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos 1. Demuestre que $S$ tiene un subconjunto de 220 puntos tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos $\sqrt{3}.$

Encuentre el mayor número natural $n$ tal que existan números naturales $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ y naturales $a_{1}< a_{2}< \ldots < a_{n-1}$ que satisfagan las siguientes ecuaciones para $i =1,2,\ldots,n-1$ : $\[x_{1}x_{2}\ldots x_{n}= 1980 \quad \text{y}\quad x_{i}+\frac{1980}{x_{i}}= a_{i}.\]

Dada una secuencia $\{a_n\}$ de números reales tal que $|a_{k+m} - a_k - a_m| \leq 1$ para todos los enteros positivos $k$ y $m$ , demuestre que, para todos los enteros positivos $p$ y $q$ , $\[|\frac{a_p}{p} - \frac{a_q}{q}| < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}.\]

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$ , sea $B_i$ un punto interior del borde opuesto a $A_i$ . Demostrar que las bisectrices perpendiculares de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

Demostrar que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ . (El $k$ no está fijo, por lo que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ posibles subconjuntos no vacíos.)

Demuestre que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.

Sea $\{x_n\}$ una secuencia de números naturales tal que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\]\nDemuestre que, para cada número natural $k$ , existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$