Dados tres progresiones aritméticas infinitas de números naturales tales que cada uno de los números 1,2,3,4,5,6,7 y 8 pertenece al menos a una de ellas, demuestre que el número 1980 también pertenece al menos a una de ellas.

Encuentra todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

Diez jugadores comenzaron a jugar con la misma cantidad de dinero. En cada turno, lanzan cinco dados. En cada etapa, el jugador que lanzó pagó a cada uno de sus 9 oponentes $\frac{1}{n}$ veces la cantidad que ese oponente poseía en ese momento. Lanzaron y pagaron uno tras otro. En la décima ronda (es decir, cuando cada jugador ha lanzado los cinco dados una vez), los dados mostraron un total de 12, y después del pago resultó que cada jugador tenía exactamente la misma suma que al principio. ¿Es posible determinar el total mostrado por los dados en las nueve rondas anteriores?

Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son tangentes (externa o internamente) en un punto $P$ . La línea recta $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta al otro círculo en los puntos $B$ y $C$ . Demuestra que la línea recta $PA$ es una bisectriz interior o exterior del ángulo $\angle BPC$ .

Sea $p$ un número primo. Demuestra que no hay ningún número divisible por $p$ en la fila $n-ésima$ del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede ser representado en la forma $n = p^sq - 1$ , donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$ .

Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$ . En el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB], [BC]$ y $[AC]$ . La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos se encuentra con el tercer círculo en $E$ . Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denotemos el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$ . Evalúa la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ como una función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$ .

La función $f$ está definida en el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$ . Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$ . Determina $f$ .

Encuentra los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

Determine todas las funciones $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$ , \\[\nf^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b).\n\]

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen \[\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}.\] Determine todos los valores posibles de $a+b+c+d$ .