Una secuencia de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todos los enteros $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna secuencia kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma secuencia kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

Sean $a_1<a_2<a_3<\dots$ enteros positivos tales que $a_{k+1}$ divide a $2(a_1+a_2+\dots+a_k)$ para todo $k\geqslant 1$ . Suponga que para infinitos primos $p$ , existe $k$ tal que $p$ divide a $a_k$ . Demuestre que para todo entero positivo $n$ , existe $k$ tal que $n$ divide a $a_k$ .

Sean $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ $2n$ enteros positivos tales que los $n+1$ productos \[a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots b_n\] forman una progresión aritmética estrictamente creciente en ese orden. Determine el entero más pequeño posible que podría ser la diferencia común de tal progresión aritmética.

Para enteros positivos $n$ y $k \geq 2$ , defina $E_k(n)$ como el mayor exponente $r$ tal que $k^r$ divide a $n!$ . Demuestre que hay infinitos $n$ tales que $E_{10}(n) > E_9(n)$ e infinitos $m$ tales que $E_{10}(m) < E_9(m)$ .

Determine todos los pares ordenados $(a,p)$ de enteros positivos, con $p$ primo, tales que $p^a+a^4$ es un cuadrado perfecto.

Determine todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1$ , $d_2$ , $\ldots$ , $d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ , entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para todo $1 \leq i \leq k - 2$ .

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , y $$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$$ Sea $BC_1$ y $CB_1$ que se encuentran en $A_2,$ sea $CA_1$ y $AC_1$ que se encuentran en $B_2,$ y sea $AB_1$ y $BA_1$ que se encuentran en $C_2.$ Demuestre que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces las tres circunferencias circunscritas de los triángulos $AA_1A_2, BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todas por dos puntos comunes. (Nota: un triángulo escaleno es uno donde no hay dos lados que tengan la misma longitud.)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con ortocentro $H$ . Sea $\ell_a$ la línea que pasa por la reflexión de $B$ con respecto a $CH$ y la reflexión de $C$ con respecto a $BH$ . Las líneas $\ell_b$ y $\ell_c$ se definen de manera similar. Suponga que las líneas $\ell_a$ , $\ell_b$ , y $\ell_c$ determinan un triángulo $\mathcal T$ . Demuestre que el ortocentro de $\mathcal T$ , el circuncentro de $\mathcal T$ , y $H$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Un círculo $\Gamma$ es internamente tangente a $\omega$ en $A$ y también tangente a $BC$ en $D$ . Sean $AB$ y $AC$ que se intersecan con $\Gamma$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en la línea $BC$ tales que $B$ es el punto medio de $DM$ y $C$ es el punto medio de $DN$ . Las líneas $MP$ y $NQ$ se encuentran en $K$ e intersecan $\Gamma$ nuevamente en $I$ y $J$ respectivamente. El rayo $KA$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $IJK$ nuevamente en $X\neq K$ . Demuestre que $\angle BXP = \angle CXQ$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y circuncentro $O$ . Los puntos $D\neq B$ y $E\neq C$ se encuentran en $\omega$ tales que $BD\perp AC$ y $CE\perp AB$ . Sea $CO$ que se encuentra con $AB$ en $X$ , y $BO$ que se encuentra con $AC$ en $Y$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BXD$ y $CYE$ tienen una intersección que se encuentra en la línea $AO$ .