Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$ . La perpendicular desde $A$ a $BC$ se encuentra con $BS$ en $D$ y se encuentra con $\Omega$ nuevamente en $E \neq A$ . La línea que pasa por $D$ paralela a $BC$ se encuentra con la línea $BE$ en $L$ . Denotemos la circunferencia circunscrita del triángulo $BDL$ por $\omega$ . Sea $\omega$ que se encuentra con $\Omega$ nuevamente en $P \neq B$ . Demuestre que la línea tangente a $\omega$ en $P$ se encuentra con la línea $BS$ en la bisectriz del ángulo interno de $\angle BAC$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $\angle BAD < \angle ADC$ . Sea $M$ el punto medio del arco $CD$ que no contiene a $A$ . Suponga que hay un punto $P$ dentro de $ABCD$ tal que $\angle ADB = \angle CPD$ y $\angle ADP = \angle PCB$ . Demuestre que las líneas $AD, PM$ , y $BC$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo con $AC > BC,$ sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC,$ y sea $r$ su radio. El punto $P$ se elige en $\overline{AC}$ tal que $BC=CP,$ y el punto $S$ es el pie de la perpendicular desde $P$ hasta $\overline{AB}$ . El rayo $BP$ se encuentra con $\omega$ nuevamente en $D$ . El punto $Q$ se elige en la línea $SP$ tal que $PQ = r$ y $S,P,Q$ se encuentran en una línea en ese orden. Finalmente, sea $E$ un punto que satisface $\overline{AE} \perp \overline{CQ}$ y $\overline{BE} \perp \overline{DQ}$ . Demuestre que $E$ se encuentra en $\omega$ .

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\angle ABC = \angle AED = 90^\circ$ . Suponga que el punto medio de $CD$ es el circuncentro del triángulo $ABE$ . Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ACD$ . Demuestre que la línea $AO$ pasa por el punto medio del segmento $BE$ .

El archipiélago de Imomi consta de $n\geq 2$ islas. Entre cada par de islas distintas hay una línea de ferry única que funciona en ambas direcciones, y cada línea de ferry es operada por una de las $k$ compañías. Se sabe que si alguna de las $k$ compañías cierra todas sus líneas de ferry, entonces se vuelve imposible para un viajero, sin importar dónde comience el viajero, visitar todas las islas exactamente una vez (en particular, no regresar a la isla donde comenzó el viajero). Determine el valor máximo posible de $k$ en términos de $n$ .

Sea $N$ un entero positivo, y considere una cuadrícula de $N \times N$. Un camino hacia la derecha y hacia abajo es una secuencia de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda debajo de la celda anterior en la secuencia. Un camino hacia la derecha y hacia arriba es una secuencia de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda arriba de la celda anterior en la secuencia. Demuestre que las celdas de la cuadrícula de $N \times N$ no se pueden particionar en menos de $N$ caminos hacia la derecha y hacia abajo o hacia la derecha y hacia arriba.

Elisa tiene $2023$ cofres del tesoro, todos los cuales están desbloqueados y vacíos al principio. Cada día, Elisa agrega una nueva gema a uno de los cofres desbloqueados de su elección, y luego, un hada actúa de acuerdo con las siguientes reglas: si hay más de un cofre desbloqueado, bloquea uno de ellos, o si solo hay un cofre desbloqueado, desbloquea todos los cofres. Dado que este proceso continúa para siempre, demuestre que existe una constante $C$ con la siguiente propiedad: Elisa puede asegurar que la diferencia entre el número de gemas en dos cofres cualesquiera nunca exceda $C$ , independientemente de cómo el hada elija los cofres para desbloquear.

Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Paul tiene una tira rectangular de $1\times n^2$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios, donde el $i^{\text{th}}$ cuadrado está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Él desea cortar la tira en varias piezas, donde cada pieza consta de una cantidad de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) las piezas para obtener un cuadrado de $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario en la $i^{\text{th}}$ fila y la $j^{\text{th}}$ columna está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el número más pequeño de piezas que Paul necesita hacer para lograr esto.

Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en $1 + 2 + \dots + n$ círculos dispuestos en forma de triángulo equilátero de tal manera que para cada $i = 1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , la $i^{th}$ fila contiene exactamente $i$ círculos, exactamente uno de los cuales está coloreado de rojo. Un camino ninja en un triángulo japonés es una secuencia de $n$ círculos obtenida comenzando en la fila superior, luego pasando repetidamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él y terminando en la fila inferior. Aquí hay un ejemplo de un triángulo japonés con $n = 6$ , junto con un camino ninja en ese triángulo que contiene dos círculos rojos.\n\nEn términos de $n$ , encuentre el mayor $k$ tal que en cada triángulo japonés hay un camino ninja que contiene al menos $k$ círculos rojos.

Determine la longitud máxima $L$ de una secuencia $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisfacen ambas propiedades siguientes: cada término en la secuencia es menor o igual que $2^{2023}$ , y no existe una subsecuencia consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]