Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ se encuentra una moneda con su lado de la cruz hacia arriba. Un movimiento consta de los siguientes pasos: seleccionar un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltear las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltear la moneda en el cuadrado unitario superior derecho o inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que cada moneda muestre el lado de la cara hacia arriba después de un número finito de movimientos.

Sea $N$ un entero positivo. Demuestre que existen tres permutaciones $a_1,\dots,a_N$ , $b_1,\dots,b_N$ , y $c_1,\dots,c_N$ de $1,\dots,N$ tales que \[\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{N}\right|<2023\] para todo $k=1,2,\dots,N$ .

Para cada entero $k\geq 2$ , determine todas las secuencias infinitas de enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ para las cuales existe un polinomio $P$ de la forma \[ P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\dots + c_1 x+c_0, \] donde $c_0$ , $c_1$ , \dots, $c_{k-1}$ son enteros no negativos, tal que \[ P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k} \] para todo entero $n\geq 1$ .

Sean $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ enteros positivos tales que $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ es una permutación de $1,2,\dots,2023$ , y $|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{2022}-a_{2023}|$ es una permutación de $1,2,\dots,2022$ . Demuestre que $\max(a_1,a_{2023})\ge 507$ .

Sea $\mathbb R_{>0}$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ tales que \[x \left(f(x) + f(y)\right) \geqslant \left(f(f(x)) + y\right) f(y)\] para todo $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

Sean $x_1,x_2,\dots,x_{2023}$ números reales positivos distintos dos a dos tales que \[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)}\] es un entero para todo $n=1,2,\dots,2023.$ Demuestre que $a_{2023} \geqslant 3034.$

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función tal que \[f(x+y)f(x-y)\geqslant f(x)^2-f(y)^2\] para todo $x,y\in\mathbb{R}$ . Asuma que la desigualdad es estricta para algunos $x_0,y_0\in\mathbb{R}$ . Demuestre que o bien $f(x)\geqslant 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ o $f(x)\leqslant 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ .

El profesor Oak está alimentando a sus $100$ Pokémon. Cada Pokémon tiene un tazón cuya capacidad es un número real positivo de kilogramos. Estas capacidades son conocidas por el profesor Oak. La capacidad total de todos los tazones es de $100$ kilogramos. El profesor Oak distribuye $100$ kilogramos de comida de tal manera que cada Pokémon recibe un número entero no negativo de kilogramos de comida (que puede ser mayor que la capacidad del tazón). El nivel de insatisfacción de un Pokémon que recibió $N$ kilogramos de comida y cuyo tazón tiene una capacidad de $C$ kilogramos es igual a $\lvert N-C\rvert$ . Encuentra el número real más pequeño $D$ tal que, independientemente de las capacidades de los tazones, el profesor Oak puede distribuir la comida de tal manera que la suma de los niveles de insatisfacción de todos los $100$ Pokémon sea como máximo $D$ .

Se da un paralelepípedo recto (es decir, un paralelepípedo uno de cuyos lados es perpendicular a una cara). Sus vértices tienen coordenadas enteras, y ningún otro punto con coordenadas enteras se encuentra en sus caras o lados. Demuestra que el volumen de este paralelepípedo es una suma de tres cuadrados perfectos.

Una secuencia de enteros $a_0,\ a_1,\dots a_n \dots $ se define por las siguientes reglas: $a_0=0,\ a_1=1,\ a_{n+1} > a_n$ para cada $n\in \mathbb{N}$ , y $a_{n+1}$ es el número mínimo tal que ningún trío de números entre $a_0,\ a_1,\dots a_{n+1}$ forma una progresión aritmética. Demuestra que $a_{2^n}=3^n$ para cada $n \in \mathbb{N}.$