¿Pueden las gráficas de un polinomio de grado 20 y la función $\displaystyle y={1\over x^{40}}$ tener exactamente 30 puntos de intersección?

En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle ABC=100^\circ$ , $\angle ACB=65^\circ$ , $M\in AB$ , $N\in AC$ , y $\angle MCB=55^\circ$ , $\angle NBC=80^\circ$ . Encuentra $\angle NMC$ .

Demuestra la desigualdad\n$${x\over y^2-z}+{y\over z^2-x}+{z\over x^2-y} > 1,$$\ndonde $2 < x, y, z < 4.$

¿Cuál es el número máximo de elementos que se pueden seleccionar del conjunto $\{1, 2, 3, \dots, 100\}$ de modo que ninguna suma de tres números seleccionados sea igual a un número seleccionado?

Encuentra todos los polinomios $P(x)$ tales que\n$$P(x^3+1)=P(x^3)+P(x^2).$$

50 caballeros del Rey Arturo se sentaron en la Mesa Redonda. Un vaso de vino blanco o tinto estaba delante de cada uno de ellos. Se sabe que al menos un vaso de vino tinto y al menos un vaso de vino blanco estaban en la mesa. El rey aplaudió dos veces. Después del primer aplauso, cada caballero con un vaso de vino tinto frente a él tomó un vaso de su vecino de la izquierda. Después del segundo aplauso, cada caballero con un vaso de vino blanco (y posiblemente algo más) frente a él le dio este vaso al vecino de la izquierda de su vecino de la izquierda. Demuestra que algún caballero se quedó sin vino.

¿Existe un entero positivo divisible por el producto de sus dígitos tal que este producto sea mayor que $10^{2000}$ ?

Considere la siguiente transformación del plano cartesiano: elija un punto de la retícula y gire el plano $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de ese punto de la retícula. ¿Es posible, a través de una secuencia de tales transformaciones, llevar el triángulo con vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(0,1)$ al triángulo con vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(1,1)$ ?

En el cuadrado $ABCD$ (etiquetado en el sentido de las agujas del reloj), sea $P$ cualquier punto en $BC$ y construya el cuadrado $APRS$ (etiquetado en el sentido de las agujas del reloj). Demuestre que la línea $CR$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Dentro de un cuadrado de $2\times 2$, se dibujan líneas paralelas a un lado del cuadrado (tanto horizontales como verticales) dividiendo así el cuadrado en rectángulos. Los rectángulos se colorean alternativamente de blanco y negro como un tablero de ajedrez. Demuestre que si el área total de los rectángulos blancos es igual al área total de los rectángulos negros, entonces se pueden recortar los rectángulos negros y volver a montarlos en un rectángulo de $1\times 2$.