Los números $1,2,\ldots,64$ están escritos en los cuadrados de un tablero de ajedrez de $8\times 8$, un número en cada cuadrado. Luego, se colocan baldosas de $2\times 2$ en el tablero de ajedrez (sin superponerse) de modo que cada baldosa cubra exactamente cuatro cuadrados cuyos números sumen menos de $100$. Encuentre, con prueba, el número máximo de baldosas que se pueden colocar en el tablero de ajedrez, y dé un ejemplo de una distribución de los números $1,2,\ldots,64$ en los cuadrados del tablero de ajedrez que admita este número máximo de baldosas.

Llame a un entero positivo 'descendente' si, leyendo de izquierda a derecha, cada uno de sus dígitos (que no sea el de más a la izquierda) es menor o igual que el dígito anterior. Por ejemplo, $4221$ y $751$ son descendentes mientras que $476$ y $455$ no lo son. Determine si existe un entero positivo $n$ para el cual $16^n$ es descendente.

Se da un conjunto finito de círculos unitarios en un plano tal que el área de su unión $U$ es $S$ . Demuestra que existe un subconjunto de círculos mutuamente disjuntos tal que el área de su unión es mayor que $\frac{2S}{9}.$

Se dan varios planetas esféricos iguales en el espacio exterior. En la superficie de cada planeta hay un conjunto de puntos que es invisible desde cualquiera de los planetas restantes. Demuestra que la suma de las áreas de todos estos conjuntos es igual al área de la superficie de un planeta.

Tres círculos de radio igual tienen un punto común $O$ y se encuentran dentro de un triángulo dado. Cada círculo toca un par de lados del triángulo. Demuestra que el incentro y el circuncentro del triángulo son colineales con el punto $O$.

Una secuencia de números reales $u_1, u_2, u_3, \dots$ está determinada por $u_1$ y la siguiente relación de recurrencia para $n \geq 1$ :\n\[4u_{n+1} = \sqrt[3]{ 64u_n + 15.}\]\nDescribe, con prueba, el comportamiento de $u_n$ cuando $n \to \infty.$

Considera un punto variable $P$ dentro de un triángulo dado $ABC$. Sean $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde el punto $P$ a las líneas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Encuentra todos los puntos $P$ que minimizan la suma\n\[ {BC\over PD}+{CA\over PE}+{AB\over PF}. \]

Demostrar que un pentágono convexo (un polígono de cinco lados) $ABCDE$ con lados iguales y para el cual los ángulos interiores satisfacen la condición $\angle A \geq \angle B \geq \angle C \geq \angle D \geq \angle E$ es un pentágono regular.

Sea $P$ un polinomio de grado $n$ que satisface \[P(k) = \binom{n+1}{k}^{-1} \qquad \text{ para } k = 0, 1, . . ., n.\] Determinar $P(n + 1).$

Determinar el valor máximo de $m^2+n^2$, donde $m$ y $n$ son enteros en el rango $1,2,\ldots,1981$ que satisfacen $(n^2-mn-m^2)^2=1$.