En una semicircunferencia de radio unitario se dan cuatro cuerdas consecutivas $AB, BC, CD, DE$ con longitudes $a, b, c, d$, respectivamente. Demostrar que \[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + abc + bcd < 4.\]

Determinar el número natural más pequeño $n$ que tiene la siguiente propiedad: Para cada entero $p, p \geq n$, es posible subdividir (particionar) un cuadrado dado en $p$ cuadrados (no necesariamente iguales).

Una sucesión $(a_n)$ se define mediante la recursión \[a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{1 + 4a_n +\sqrt{1+ 24a_n}}{16}.\] Encuentra una fórmula explícita para $a_n.$

Toma $r$ tal que $1\le r\le n$, y considera todos los subconjuntos de $r$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$. Cada subconjunto tiene un elemento más pequeño. Sea $F(n,r)$ la media aritmética de estos elementos más pequeños. Demuestra que: \[ F(n,r)={n+1\over r+1}. \]

La función $f(x,y)$ satisface: $f(0,y)=y+1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ para todos los enteros no negativos $x,y$. Encuentra $f(4,1981)$.

Sean $P(z)$ y $Q(z)$ polinomios de variable compleja, con grado no menor que $1$. Sean \[P_k = \{z \in \mathbb C | P(z) = k \}, Q_k = \{ z \in \mathbb C | Q(z) = k \}.\] Sea también $P_0 = Q_0$ y $P_1 = Q_1$. Demuestra que $P(z) \equiv Q(z).$

Un cubo se ensambla con $27$ cubos blancos. El cubo más grande se pinta de negro por fuera y se desensambla. Un ciego lo vuelve a ensamblar. ¿Cuál es la probabilidad de que el cubo ahora sea completamente negro por fuera? Da una aproximación del tamaño de tu respuesta.

Sea $\{fn\}$ la sucesión de Fibonacci $\{1, 1, 2, 3, 5, \dots.\}$.\n(a) Encuentra todos los pares $(a, b)$ de números reales tales que para cada $n$ , $af_n +bf_{n+1}$ es un miembro de la secuencia.\n(b) Encuentra todos los pares $(u, v)$ de números reales positivos tales que para cada $n$ , $uf_n^2 +vf_{n+1}^2$ es un miembro de la secuencia.

Encuentra el valor mínimo de \n$\max(a + b + c, b + c + d, c + d + e, d + e + f, e + f + g)$\nsujeto a las restricciones\n(i) $a, b, c, d, e, f, g \geq 0,$\n(ii ) $ a + b + c + d + e + f + g = 1.$

Una esfera $S$ es tangente a los bordes $AB,BC,CD,DA$ de un tetraedro $ABCD$ en los puntos $E,F,G,H$ respectivamente. Los puntos $E,F,G,H$ son los vértices de un cuadrado. Demuestre que si la esfera es tangente al borde $AC$, entonces también es tangente al borde $BD$.