a.) ¿Para qué $n>2$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos consecutivos tales que el número más grande en el conjunto es un divisor del mínimo común múltiplo de los $n-1$ números restantes?\nb.) ¿Para qué $n>2$ existe exactamente un conjunto que tiene esta propiedad?

Llamamos a un entero positivo $\textit{cheesy}$ si podemos obtener el promedio de los dígitos en su representación decimal colocando un separador decimal después del dígito más a la izquierda. Demostrar que solo hay finitamente muchos números $\textit{cheesy}$.

Determinar todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente estrictamente) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para cada entero positivo $n$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ y los lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran, respectivamente, en los segmentos $BP$ y $AP$ tales que $PC=PE$ y $PD=PF$. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las líneas $AB, CD, EF$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$.

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ con $\angle CAB = 90$. Las medianas a través de $B$ y $C$ se encuentran con $\Omega$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. La tangente a $\Omega$ en $D$ interseca la línea $AC$ en $X$ y la tangente a $\Omega$ en $E$ interseca la línea $AB$ en $Y$. Demostrar que la línea $XY$ es tangente a $\Omega$.

Sea $n$ un entero positivo. Se nos da una tabla de $2n \times 2n$. Cada celda está coloreada con uno de los $2n^2$ colores de tal manera que cada color se usa exactamente dos veces. Jana se encuentra en una de las celdas. Hay una barra de chocolate ubicada en una de las otras celdas. Jana desea llegar a la celda con la barra de chocolate. En cada paso, solo puede moverse de una de las dos maneras siguientes. Ya sea que camine a una celda adyacente o se teletransporte a la otra celda con el mismo color que su celda actual. (Jana puede moverse a una celda adyacente del mismo color ya sea caminando o teletransportándose). Determine si Jana puede cumplir su deseo, independientemente de la configuración inicial, si tiene que alternar entre las dos formas de moverse y tiene que comenzar con una teletransportación.

Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ vacas púrpuras y $n$ vacas blancas haciendo cola en una línea en algún orden. Tim desea ordenar las vacas por color, de modo que todas las vacas púrpuras estén al frente de la línea. En cada paso, solo se le permite intercambiar dos grupos adyacentes de igual número de vacas consecutivas. ¿Cuál es el número mínimo de pasos que Tim necesita para poder cumplir su deseo, independientemente de la alineación inicial de las vacas?

Sea $k$ un entero positivo y $a_1, a_2,... , a_k$ sean números reales no negativos. Inicialmente, hay una secuencia de $n \geq k$ ceros escritos en una pizarra. En cada paso, Nicole elige $k$ números consecutivos escritos en la pizarra e incrementa el primer número por $a_1$, el segundo por $a_2$, y así sucesivamente, hasta que incrementa el $k$ - ésimo por $a_k$. Después de un número positivo de pasos, Nicole logró hacer que todos los números en la pizarra sean iguales. Demostrar que todos los números distintos de cero entre $a_1, a_2, . . . , a_k$ son iguales.

Dado un par $(a_0, b_0)$ de números reales, definimos dos secuencias $a_0, a_1, a_2,...$ y $b_0, b_1, b_2, ...$ de números reales por $a_{n+1}= a_n + b_n$ y $b_{n+1}=a_nb_n$ para todo $n = 0, 1, 2,...$. Encontrar todos los pares $(a_0, b_0)$ de números reales tales que $a_{2022}= a_0$ y $b_{2022}= b_0$.

Inicialmente, dos enteros positivos distintos $a$ y $b$ están escritos en una pizarra. En cada paso, Andrea elige dos números distintos $x$ e $y$ en la pizarra y escribe el número $gcd(x, y) + lcm(x, y)$ en la pizarra también. Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que, independientemente de los valores de $a$ y $b$, Andrea puede realizar un número finito de pasos tal que un múltiplo de $n$ aparece en la pizarra.