Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle DAB < 90$. Sea $E$ el punto en la línea $BC$ tal que $AE = AB$ y sea $F$ el punto en la línea $CD$ tal que $AF = AD$. La circunferencia circunscrita del triángulo $CEF$ interseca la línea $AE$ nuevamente en $P$ y la línea $AF$ nuevamente en $Q$. Sea $X$ la reflexión de $P$ sobre la línea $DE$ e $Y$ la reflexión de $Q$ sobre la línea $BF$. Demostrar que $A, X, Y$ yacen en la misma línea.

Sea $n$ un entero positivo. Anna y Beatrice juegan un juego con una baraja de $n$ cartas etiquetadas con los números $1, 2,...,n$. Inicialmente, la baraja está mezclada. Los jugadores se turnan, comenzando con Anna. En cada turno, si $k$ denota el número escrito en la carta superior, entonces el jugador primero mira todas las cartas y luego reorganiza las $k$ cartas superiores. Si, después de reorganizar, la carta superior muestra el número $k$ nuevamente, entonces el jugador ha perdido y el juego termina. Determinar, dependiendo de la mezcla inicial, si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora, y si es así, quién la tiene.

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que $$f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y)$$ se cumple para todos los números reales $x$ e $y$.

Una secuencia $a_1, a_2,\dots, a_n$ de enteros positivos es alagoana, si para cada entero positivo $n$, se tienen estas dos condiciones I- $a_{n!} = a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n$ II- El número $a_n$ es la $n$ - ésima potencia de un entero positivo. Encuentre todas las secuencias alagoanas.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle BAC = 60^{\circ}$ y con incentro $I$ y circuncentro $O$. Sea $H$ el punto diametralmente opuesto (antípoda) a $O$ en la circunferencia circunscrita de $\triangle BOC$. Demuestre que $IH=BI+IC$.

Para cada entero $n\geq 4$, consideramos los $m$ subconjuntos $A_1, A_2,\dots, A_m$ de $\{1, 2, 3,\dots, n\}$, tales que $A_1$ tiene exactamente un elemento, $A_2$ tiene exactamente dos elementos,...., $A_m$ tiene exactamente $m$ elementos y ninguno de estos subconjuntos está contenido en ningún otro conjunto. Encuentre el valor máximo de $m$.

Defina el producto $P_n=1! \cdot 2!\cdot 3!\cdots (n-1)!\cdot n!$ a) Encuentre todos los enteros positivos $m$, tales que $\frac {P_{2020}}{m!}$ es un cuadrado perfecto. b) Demuestre que existen infinitos valores de $n$, tales que $\frac {P_{n}}{m!}$ es un cuadrado perfecto, para al menos dos enteros positivos $m$.

Demuestre que todo entero positivo puede formarse mediante la suma de potencias de 3, 4 y 7, donde no aparecen dos potencias del mismo número y con el mismo exponente. Ejemplo: $2= 7^0 + 7^0$ y $22=3^2 + 3^2+4^1$ no son representaciones válidas, pero $2=3^0+7^0$ y $22=3^2+3^0+4^1+4^0+7^1$ son representaciones válidas.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, donde $R$ y $S$ son puntos en $DC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AD=RC$ y $BC=SA$. Sean $P$, $Q$ y $M$ los puntos medios de $RD$, $BS$ y $CA$, respectivamente. Si $\angle MPC + \angle MQA = 90$, demuestre que $ABCD$ es cíclico.

Daniel elige un entero positivo $n$ y se lo dice a Ana. Con esta información, Ana elige un entero positivo $k$ y se lo dice a Daniel. Daniel dibuja $n$ circunferencias en un trozo de papel y elige $k$ puntos diferentes con la condición de que cada uno de ellos pertenece a una de las circunferencias que dibujó. Luego elimina las circunferencias, y sólo los $k$ puntos marcados son visibles. A partir de estos puntos, Ana debe reconstruir al menos una de las circunferencias que Daniel dibujó. Determinar cuál es el valor más bajo de $k$ que permite a Ana lograr su objetivo independientemente de cómo Daniel eligió las $n$ circunferencias y los $k$ puntos.