$ABC$ es un triángulo cualquiera. La tangente en $C$ a la circunferencia circunscrita ( $O$ ) de $ABC$ se encuentra con $AB$ en $M$. La línea perpendicular a $OM$ en $M$ intersecta a $BC$ en $P$ y a $AC$ en $Q$. Demostrar que $MP=MQ$.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos. Demostrar que $\frac{a+b}{c^2}+ \frac{c+a}{b^2}+ \frac{b+c}{a^2}\ge \frac{9}{a+b+c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=60^o$. El punto $P$ es el simétrico de $A$ con respecto al punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado $BC$. Demostrar que si la mediatriz del segmento $CP$ intersecta a la recta que contiene a la bisectriz del $\angle B$ en el punto $Q$, entonces el triángulo $CPQ$ es equilátero.

Sea $\lambda$ un número real tal que la desigualdad $0 <\sqrt {2002} - \frac {a} {b} <\frac {\lambda} {ab}$ se cumple para un número infinito de pares $ (a, b)$ de enteros positivos. Demostrar que $\lambda \geq 5$.

Determinar todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos para los cuales $\frac{a^2b+b}{ab^2+9}$ es un número entero.

Para un entero positivo $n$ , sea $S_n$ el conjunto de funciones biyectivas de $\{1,2,\dots ,n\}$ a sí mismo. Para un par de enteros positivos $(a,b)$ tal que $1 \leq a <b \leq n$ , y para una permutación $\sigma \in S_n$ , decimos que el par $(a,b)$ se expande para $\sigma$ si $|\sigma (a)- \sigma(b)| \geq |a-b|$ (a) ¿Es cierto que para todos los enteros $n > 1$ , existe $\sigma \in S_n$ de modo que el número de pares $(a,b)$ que se expanden para la permutación $\sigma$ es menor que $1000n\sqrt n$ ? (b) ¿Existe un entero positivo $n>1$ y una permutación $\sigma \in S_n$ de modo que el número de pares $(a,b)$ que se expanden para la permutación $\sigma$ es menor que $\frac{n\sqrt n}{1000}$ ?

Sea $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ un hexágono convexo cíclico inscrito en el círculo $\Omega$ , centrado en $O$ . Sea $\{ P \} = A_2B_2 \cap A_1B_1$ y $\{ Q \} = A_2C_2 \cap A_1C_1$ . Sea $\Gamma_1$ un círculo tangente a $OB_1$ y $OC_1$ en $B_1,C_1$ respectivamente. Similarmente, defina $\Gamma_2$ como el círculo tangente a $OB_2,OC_2$ en $B_2, C_2$ respectivamente. Demuestre que existe una homotecia que envía $\Gamma_1$ a $\Gamma_2$ , cuyo centro está en $PQ$

Vaysha tiene un tablero con $999$ números consecutivos escritos y $999$ etiquetas de la forma 'Este número no es divisible por $i$ ' , para $i \in \{ 2,3, \dots ,1000 \} $ . Ella coloca cada etiqueta al lado de un número en el tablero, de modo que cada número tenga exactamente una etiqueta. Por cada afirmación verdadera en las etiquetas, Vaysha obtiene un caramelo. ¿Cuántos caramelos puede garantizar Vaysha que ganará, independientemente de los números escritos en el tablero, si juega de forma óptima?

Un par de enteros positivos $(x, y)$ es bueno si satisfacen $\text{rad}(x) = \text{rad}(y)$ y no se dividen entre sí. Dados enteros positivos coprimos $a$ y $b$ , demuestre que existen infinitos $n$ para los cuales existe un entero positivo $m$ tal que $(a^n + bm, b^n + am)$ es bueno . (Aquí, $\text{rad}(x)$ denota el producto de los divisores primos de $x$ , como es habitual.)

Rose y Brunno juegan un juego en un tablero con la forma de un 1001-gono regular. Inicialmente, todos los vértices del tablero son blancos, y hay una ficha en uno de ellos. En cada turno, Rose elige un entero positivo arbitrario \( k \) , entonces Brunno elige una dirección: en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj, y mueve la ficha en la dirección elegida \( k \) vértices. Si al final del turno la ficha está en un vértice blanco, este vértice se pinta de rojo. Encuentra el mayor número de vértices que Rose puede hacer rojos independientemente de las acciones de Brunno, si el número de turnos no está limitado.