Sean $a, b$ reales positivos tales que $a^3 + b^3 = ab + 1$ . Demuestra que \[(a-b)^2 + a + b \geq 2\]

Considera cinco puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ D$ y $ E$ tales que $ ABCD$ es un paralelogramo y $ BCED$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $ \ell$ una línea que pasa por $ A$ . Supón que $ \ell$ interseca el interior del segmento $ DC$ en $ F$ e interseca la línea $ BC$ en $ G$ . Supón también que $ EF = EG = EC$ . Demuestra que $ \ell$ es la bisectriz del ángulo $ DAB$ .

Se dan números reales $ a_{1}$ , $ a_{2}$ , $ \ldots$ , $ a_{n}$ . Para cada $ i$ , $ (1 \leq i \leq n )$ , define \[ d_{i} = \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \} - \min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \} \]\ny sea $ d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$ . (a) Demuestra que, para cualquier número real $ x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ , \[ \max \{ |x_{i} - a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac {d}{2}. \quad \quad (*) \]\n(b) Demuestra que existen números reales $ x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ tales que la igualdad se cumple en (*).

Los vértices $D,E,F$ de un triángulo equilátero se encuentran en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente de un triángulo $ABC$. Si $a,b,c$ son las longitudes respectivas de estos lados, y $S$ el área de $ABC$, demuestre que\n\[ DE \geq \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot S}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot S}}. \]

Sean $A$, $B$, $C$, $D$ cuatro puntos en el plano, con $C$ y $D$ en el mismo lado de la línea $AB$, tales que $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ y $\angle ADB = 90^{\circ}+\angle ACB$. Encuentre la razón \n\[\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}, \]\ny demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales. (Se dice que las circunferencias que se intersectan son ortogonales si en cualquier punto común sus tangentes son perpendiculares. Por lo tanto, demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales es equivalente a demostrar que las tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ en el punto $C$ son perpendiculares.)

Para tres puntos $A,B,C$ en el plano, definimos $m(ABC)$ como la longitud más pequeña de las tres alturas del triángulo $ABC$, donde en el caso de que $A$, $B$, $C$ sean colineales, establecemos $m(ABC) = 0$. Sean $A$, $B$, $C$ puntos dados en el plano. Demuestre que para cualquier punto $X$ en el plano,\n\[ m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). \]

En un tablero de ajedrez infinito, se juega un juego de solitario de la siguiente manera: al principio, tenemos $n^2$ piezas que ocupan un cuadrado de lado $n$. El único movimiento permitido es saltar sobre un cuadrado ocupado a uno desocupado, y la pieza que ha sido saltada se elimina. ¿Para qué $n$ puede terminar el juego con solo una pieza restante en el tablero?

Dado un triángulo $ABC$, sean $D$ y $E$ puntos en el lado $BC$ tales que $\angle BAD = \angle CAE$. Si $M$ y $N$ son, respectivamente, los puntos de tangencia de las circunferencias inscritas de los triángulos $ABD$ y $ACE$ con la línea $BC$, entonces demuestre que \n\[\frac{1}{MB}+\frac{1}{MD}= \frac{1}{NC}+\frac{1}{NE}. \]

En un tablero de ajedrez infinito, se juega un juego de solitario de la siguiente manera: al principio, tenemos $n^2$ piezas que ocupan un cuadrado de lado $n.$ El único movimiento permitido es saltar sobre un cuadrado ocupado a uno desocupado, y la pieza sobre la que se ha saltado se elimina. ¿Para qué $n$ puede terminar el juego con solo una pieza restante en el tablero?

Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cuatro puntos en el plano, con $C$ y $D$ en el mismo lado de la recta $AB$ , tales que $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ y $\angle ADB = 90^{\circ}+\angle ACB$ . Encuentra la razón \[\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}, \] y demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales. (Se dice que las circunferencias que se intersecan son ortogonales si en cualquier punto común sus tangentes son perpendiculares. Por lo tanto, demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales es equivalente a demostrar que las tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ en el punto $C$ son perpendiculares.)