Sea $n > 1$ un entero y sea $f(x) = x^n + 5 \cdot x^{n-1} + 3.$ Demuestra que no existen polinomios $g(x),h(x),$ cada uno con coeficientes enteros y grado al menos uno, tal que $f(x) = g(x) \cdot h(x).$

Sea $\mathbb{N} = \{1,2,3, \ldots\}$ . Determina si existe una función estrictamente creciente $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: (i) $f(1) = 2$ ; (ii) $f(f(n)) = f(n) + n, (n \in \mathbb{N})$ .

Sea $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$ y $A_0 = (a_{01},a_{02}, \ldots, a_{0n})$ sea cualquier $n-$ tupla de números naturales, tal que $0 \leq a_{0i} \leq i-1,$ para $i = 1, \ldots, n.$ Las $n-$ tuplas $A_1= (a_{11},a_{12}, \ldots, a_{1n}), A_2 = (a_{21},a_{22}, \ldots, a_{2n}), \ldots$ se definen por:\n$a_{i+1,j} = Card \{a_{i,l}| 1 \leq l \leq j-1, a_{i,l} \geq a_{i,j}\},$ para $i \in \mathbb{N}$ y $j = 1, \ldots, n.$ Demostrar que existe $k \in \mathbb{N},$ tal que $A_{k+2} = A_{k}.$

Sea $n > 1$ un entero. En una disposición circular de $n$ lámparas $L_0, \ldots, L_{n-1},$ cada una de las cuales puede estar ENCENDIDA o APAGADA, comenzamos con la situación en la que todas las lámparas están ENCENDIDAS, y luego llevamos a cabo una secuencia de pasos, $Step_0, Step_1, \ldots .$ Si $L_{j-1}$ ( $j$ se toma mod $ n$ ) está ENCENDIDA, entonces $Step_j$ cambia el estado de $L_j$ (pasa de ENCENDIDA a APAGADA o de APAGADA a ENCENDIDA) pero no cambia el estado de ninguna de las otras lámparas. Si $L_{j-1}$ está APAGADA, entonces $Step_j$ no cambia nada en absoluto. Demostrar que:\n(i) Existe un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos todas las lámparas están ENCENDIDAS de nuevo,\n(ii) Si $n$ tiene la forma $2^k$ entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2-1$ pasos,\n(iii) Si $n$ tiene la forma $2^k + 1$ entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2 - n + 1$ pasos.

Sean $n,k \in \mathbb{Z}^{+}$ con $k \leq n$ y sea $S$ un conjunto que contiene $n$ números reales distintos. Sea $T$ un conjunto de todos los números reales de la forma $x_1 + x_2 + \ldots + x_k$ donde $x_1, x_2, \ldots, x_k$ son elementos distintos de $S.$ Demostrar que $T$ contiene al menos $k(n-k)+1$ elementos distintos.

a) Demostrar que el conjunto $ \mathbb{Q}^{ + }$ de todos los racionales positivos se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos $ A,B,C$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$ BA = B; \& B^2 = C; \& BC = A;$\ndonde $ HK$ representa el conjunto $ \{hk: h \in H, k \in K\}$ para dos subconjuntos cualesquiera $ H, K$ de $ \mathbb{Q}^{ + }$ y $ H^2$ representa $ HH.$\nb) Demostrar que todos los cubos racionales positivos están en $ A$ para tal partición de $ \mathbb{Q}^{ + }.$\nc) Encontrar tal partición $ \mathbb{Q}^{ + } = A \cup B \cup C$ con la propiedad de que para ningún entero positivo $ n \leq 34,$ tanto $ n$ como $ n + 1$ están en $ A,$ es decir,\n$ \text{min} \{n \in \mathbb{N}: n \in A, n + 1 \in A \} > 34.$

Sean $a,b,c,d$ cuatro números no negativos que satisfacen \[ a+b+c+d=1. \] Demostrar la desigualdad \[ a \cdot b \cdot c + b \cdot c \cdot d + c \cdot d \cdot a + d \cdot a \cdot b \leq \frac{1}{27} + \frac{176}{27} \cdot a \cdot b \cdot c \cdot d. \]

Sean $c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}$ con $n \geq 2$ tales que \[ 0 \leq \sum^n_{i=1} c_i \leq n. \] Demostrar que podemos encontrar enteros $k_1, \ldots, k_n$ tales que \[ \sum^n_{i=1} k_i = 0 \] y \[ 1-n \leq c_i + n \cdot k_i \leq n \] para cada $i = 1, \ldots, n.$ Otra formulación: Sean $x_1, \ldots, x_n,$ con $n \geq 2$ números reales tales que \[ |x_1 + \ldots + x_n| \leq n. \] Demostrar que existen enteros $k_1, \ldots, k_n$ tales que \[ |k_1 + \ldots + k_n| = 0. \] y \[ |x_i + 2 \cdot n \cdot k_i| \leq 2 \cdot n -1 \] para cada $i = 1, \ldots, n.$

Sea $n > 1$ un entero y sea $f(x) = x^n + 5 \cdot x^{n-1} + 3.$ Demostrar que no existen polinomios $g(x),h(x),$ cada uno con coeficientes enteros y grado al menos uno, tales que $f(x) = g(x) \cdot h(x).$

Sea $\mathbb{N} = \{1,2,3, \ldots\}$. Determinar si existe una función estrictamente creciente $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: (i) $f(1) = 2$ ; (ii) $f(f(n)) = f(n) + n, (n \in \mathbb{N})$ .