Un círculo $C$ con centro $O$ sobre la base $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ es tangente a los lados iguales $AB,AC$. Si el punto $P$ en $AB$ y el punto $Q$ en $AC$ son seleccionados tal que $PB \times CQ = (\frac{BC}{2})^2$, demuestra que el segmento de línea $PQ$ es tangente al círculo $C$, y demuestra lo contrario.

Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto.

Dos círculos en un plano se intersectan. $A$ es uno de los puntos de intersección. Partiendo simultáneamente desde $A$, dos puntos se mueven con velocidad constante, cada uno viajando a lo largo de su propio círculo en el mismo sentido. Los dos puntos regresan a $A$ simultáneamente después de una revolución. Demuestra que existe un punto fijo $P$ en el plano tal que los dos puntos están siempre equidistantes de $P$.

Sea $N$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$, y sea $M$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3 + 1\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$. Demuestra que $N > M$.

Dado el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$, determine el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ tomado sobre todos los números no negativos $x_i$ con suma $a.$

Considere las secuencias $(a_n), (b_n)$ definidas por \[a_1=3, \quad b_1=100 , \quad a_{n+1}=3^{a_n} , \quad b_{n+1}=100^{b_n} \] Encuentre el entero más pequeño $m$ para el cual $b_m > a_{100}.$

Sean $m$ enteros positivos $a_1, \dots , a_m$ dados. Demuestre que existen menos de $2^m$ enteros positivos $b_1, \dots , b_n$ tales que todas las sumas de distintos $b_k$ son distintos y todos los $a_i \ (i \leq m)$ aparecen entre ellos.

Dentro de un triángulo equilátero $ABC$ se construyen los puntos $P, Q$ y $R$ tales que \[\angle QAB = \angle PBA = 15^\circ,\ \angle RBC = \angle QCB = 20^\circ,\ \angle PCA = \angle RAC = 25^\circ.\] Determine los ángulos del triángulo $PQR.$

Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$. $F$ es una colección de $16$ subconjuntos diferentes de $K$, y se sabe que cualesquiera tres miembros de $F$ tienen al menos un elemento en común. Demuestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común.

Determinar todos los números reales a para los que existen reales positivos $x_{1}, \ldots, x_{5}$ que satisfacen las relaciones $ \sum_{k=1}^{5} kx_{k}=a,$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{3}x_{k}=a^{2},$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{5}x_{k}=a^{3}.$