Resuelva en $ \mathbb{C} $ la siguiente ecuación: $ |z|+|z-5i|=|z-2i|+|z-3i|. $

Resuelva en $ \mathbb{Z} $ el siguiente sistema de ecuaciones: $$ \left\{\begin{matrix} 5^x-\log_2 (y+3) = 3^y\\ 5^y -\log_2 (x+3)=3^x\end{matrix}\right. . $$

Para cualquier $ n\ge 2 $ natural, demuestre que se cumple la siguiente desigualdad: $$ \sum_{i=2}^n\frac{1}{\sqrt[i]{(2i)!}}\ge\frac{n-1}{2n+2} . $$

Encuentre las funciones $ f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} $ que satisfacen la siguiente relación: $$ \gcd\left( x,f(y)\right)\cdot\text{lcm}\left(f(x), y\right) = \gcd (x,y)\cdot\text{lcm}\left( f(x), f(y)\right) ,\quad\forall x,y\in\mathbb{N} . $$

Sean $ m, n $ números naturales con $ m\ge 2,n\ge 3. $ Demuestre que existen $ m $ múltiplos distintos de $ n-1, $ a saber, $ a_1,a_2,a_3,...,a_m, $ tales que: $$ \frac{1}{n} =\sum_{i=1}^m \frac{(-1)^{i-1}}{a_i} . $$

Determine los números reales $ a,b, $ tales que $$ [ax+by]+[bx+ay]=(a+b)\cdot [x+y],\quad\forall x,y\in\mathbb{R} , $$ donde $ [t] $ es el mayor entero menor que $ t. $

Considere el paralelogramo $ ABCD, $ cuyas diagonales se intersecan en $ O. $ La bisectriz del ángulo $ \angle DAC $ y la de $ \angle DBC $ se intersecan entre sí en $ T. $ Además, $ \overrightarrow{TD} +\overrightarrow{TC} =\overrightarrow{TO} . $ Encuentre los ángulos del triángulo $ ABT. $

Considere el paralelepípedo rectangular $ ABCDA'B'C'D' $ y el punto $ O $ como la intersección de $ AB' $ y $ A'B. $ En la arista $ BC, $ escoja un punto $ N $ tal que el plano formado por el triángulo $ B'AN $ tenga que ser paralelo a la línea $ AC', $ y perpendicular a $ DO'. $ Demuestre, entonces, que este paralelepípedo es un cubo.

Encuentre $ #\left\{ (x,y)\in\mathbb{N}^2\bigg| \frac{1}{\sqrt{x}} -\frac{1}{\sqrt{y}} =\frac{1}{2016}\right\} , $ donde $ # A $ es el cardinal de $ A . $

Para cada número real $ a, $ defina el conjunto $ A_a=\left\{ n\in\{ 0\}\cup\mathbb{N}\bigg|\sqrt{n^2+an}\in\{ 0\}\cup\mathbb{N}\right\} . $ a) Demuestre la equivalencia: $ # A_a\in\mathbb{N}\iff a\neq 0, $ donde $ # B $ es el cardinal de $ B. $ b) Determine $ \max A_{40} . $