Encuentra todos los enteros no negativos $n$ tales que $\sqrt{n + 3}+ \sqrt{n +\sqrt{n + 3}} $ es un entero.

Sea $ m $ un entero no negativo, $ n\ge 2 $ un número natural, $ A $ un anillo que tiene exactamente $ n $ elementos, y un elemento $ a $ de $ A $ tal que $ 1-a^k $ es invertible, para todo $ k\in\{ m+1,m+2,...,m+n-1\} . $ Demuestre que $ a $ es nilpotente.

Encuentre todas las funciones continuas y no decrecientes $ f:[0,\infty)\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisfacen la desigualdad: $$ \int_0^{x+y} f(t) dt\le \int_0^x f(t) dt +\int_0^y f(t) dt,\quad\forall x,y\in [0,\infty) . $$

a) Calcule $ \int_{0}^1 x\sin\left( \pi x^2\right) dx. $ b) Calcule $ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} k\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \sin\left(\pi x^2\right) dx. $

a) Resuelva la ecuación $ x^2-x+2\equiv 0\pmod 7. $ b) Determine los números naturales $ n\ge 2 $ para los cuales la ecuación $ x^2-x+2\equiv 0\pmod n $ tiene una solución única módulo $ n. $

Sea $ \left( x_n\right)_{n\ge 1} $ una secuencia de números reales del intervalo $ [1,\infty) . $ Suponga que la secuencia $ \left( \left[ x_n^k\right]\right)_{n\ge 1} $ es convergente para todos los números naturales $ k. $ Demuestre que $ \left( x_n\right)_{n\ge 1} $ es convergente. Aquí, $ [\beta ] $ significa el mayor entero menor que $ \beta . $

Encuentre todos los números naturales $ k\ge 1 $ y $ n\ge 2, $ que tienen la propiedad de que existen dos matrices $ A,B\in M_n\left(\mathbb{Z}\right) $ tales que $ A^3=O_n $ y $ A^kB +BA=I_n. $

Sean dos matrices $ A,B\in M_2\left(\mathbb{R}\right) $ que satisfacen la igualdad $ \left( A-B\right)^2 =O_2. $ a) Demuestre que $ \det\left( A^2-B^2\right) =\left( \det A -\det B\right)^2. $ b) Demuestre que $ \det\left( AB-BA\right) =0\iff \det A=\det B. $

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow [0,1] $ una función con la propiedad de que, para todo $ y\in [0,1] $ y $ \varepsilon >0, $ existe un $ x\in [0,1] $ tal que $ |f(x)-y|<\varepsilon . $ a) Demuestre que si $ \left. f\right|_{[0,1]} $ es continua, entonces $ f $ es sobreyectiva. b) Dé un ejemplo de una función con la propiedad dada, pero que no es sobreyectiva.

Sea $ f: (0,\infty)\longrightarrow (0,\infty) $ una función no constante que tiene la propiedad de que $ f\left( x^y\right) = \left( f(x)\right)^{f(y)},\quad\forall x,y>0. $ Demuestre que $ f(xy)=f(x)f(y) $ y $ f(x+y)=f(x)+f(y), $ para todos $ x,y>0. $