Decimos que un número racional es esférico si es la suma de tres cuadrados de números racionales (no necesariamente distintos). Prueba que: a) $7$ no es esférico. b) un número racional esférico elevado a la potencia de cualquier número natural mayor que $1$ es esférico.

Sea un número natural $n\ge 2$ y $n$ números reales positivos $a_1,a_n,\ldots ,a_n$ que satisfacen las desigualdades $$ \sum_{j=1}^i a_j\le a_{i+1} ,\quad \forall i\in\{ 1,2,\ldots ,n-1 \} . $$ Prueba que $$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_k}{a_{k+1}}\le n/2 . $$

El ortocentro $H$ de un triángulo $ABC$ es distinto de sus vértices y su circuncentro $O.$ $M,N,P$ son los circuncentros de los triángulos $HBC,HCA,$ respectivamente, $HAB.$ Prueba que $AM,BN,CP$ y $OH$ son concurrentes.

Para $n \in N^*$ diremos que los enteros no negativos $x_1, x_2, ... , x_n$ tienen la propiedad $(P)$ si $$x_1x_2 ...x_n = x_1 + 2x_2 + 3x_3 + ...+ nx_n.$$ a) Demuestra que para cada $n \in N^*$ existen $n$ enteros positivos con la propiedad $(P)$ . b) Encuentra todos los enteros $n \ge 2$ tales que existen $n$ enteros positivos $x_1, x_2, ... , x_n$ con $x_1< x_2<x_3< ... <x_n$ , teniendo la propiedad $(P)$ .

Si $a, b$ y $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, demuestra que $$\frac32 \le \frac{b + c}{b + c + 2a}+\frac{a + c}{a + c + 2b}+\frac{a + b}{a + b + 2c}\le \frac53.$$

En un cubo $ABCDA'B'C'D' $ se consideran dos puntos, $M \in (CD')$ y $N \in (DA')$ . Demuestra que $MN$ es perpendicular común a las líneas $CD'$ y $DA'$ si y sólo si $$\frac{D'M}{D'C}=\frac{DN}{DA'} =\frac{1}{3}.$$

Los vértices de un prisma están coloreados usando dos colores, de modo que cada arista lateral tiene sus vértices coloreados de forma diferente. Considera todos los segmentos que unen vértices del prisma y no son aristas laterales. Prueba que el número de tales segmentos con extremos de diferente color es igual al número de tales segmentos con extremos del mismo color.

Considera el triángulo rectángulo isósceles $ABC$ , con $\angle A = 90^o$ y el punto $M \in (BC)$ tal que $\angle AMB = 75^o$ . En la bisectriz interior del ángulo $MAC$ toma un punto $F$ tal que $BF = AB$ . Prueba que: a) las líneas $AM$ y $BF$ son perpendiculares; b) el triángulo $CFM$ es isósceles.

Encuentra todos los enteros positivos $p$ con la propiedad de que la suma de los primeros $p$ enteros positivos es un entero positivo de cuatro dígitos cuya descomposición en factores primos es de la forma $2^m3^n(m + n)$ , donde $m, n \in N^*$ .

Considera el triángulo $ABC$ , donde $\angle B= 30^o, \angle C = 15^o$ , y $M$ es el punto medio del lado $[BC]$ . Sea el punto $N \in (BC)$ tal que $[NC] = [AB]$ . Demuestra que $[AN$ es la bisectriz del ángulo $MAC$