Prueba que existe una única secuencia $ \left( c_n \right)_{n\ge 1} $ de números reales del intervalo $ (0,1) $ tal que $$ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^m} =\frac{1}{1+c_m^m } , $$ para todos los números naturales $ m, $ y calcula $ \lim_{k\to\infty } kc_k^k.$

Encuentra todas las funciones, $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} ,$ que tienen las propiedades de que $f^2$ es diferenciable y $f=\left( f^2 \right)' .$

Sea un número real $a,$ y una función $f:\mathbb{R}_{>0 }\longrightarrow\mathbb{R}_{>0 }.$ Demuestra que las siguientes relaciones son equivalentes. $ \text{(i)}\quad\varepsilon\in\mathbb{R}_{>0 } \implies\left( \lim_{x\to\infty } \frac{f(x)}{x^{a+\varepsilon }} =0\wedge \lim_{x\to\infty } \frac{f(x)}{x^{a-\varepsilon }} =\infty \right) $ $ \text{(ii)}\quad\lim_{x\to\infty } \frac{\ln f(x)}{\ln x } =a $

Considera un número natural, $n\ge 2,$ y tres matrices complejas $n\times n$ $A,B,C$ tales que $A$ es invertible, $B$ se forma reemplazando la primera línea de $A$ con ceros, y $C$ se forma poniendo las últimas $n-1$ líneas de $A$ por encima de una línea de ceros. Prueba que: a) $ \text{rango} \left( A^{-1} B \right) = \text{rango} \left( \left( A^{-1} B\right)^2 \right) =\cdots =\text{rango} \left( \left( A^{-1} B\right)^n \right) $ b) $ \text{rango} \left( A^{-1} C \right) > \text{rango} \left( \left( A^{-1} C\right)^2 \right) >\cdots >\text{rango} \left( \left( A^{-1} C\right)^n \right) $

Sea una matriz real $2\times 2$ $A$ que tiene la propiedad de que $ \left| A^d-I_2 \right| =\left| A^d+I_2 \right| , $ para todo $ d\in\{ 2014,2016 \} .$ Prueba que $ \left| A^n-I_2 \right| =\left| A^n+I_2 \right| , $ para cualquier número natural $ n.$

Para estudiar una cierta lengua antigua, algunos investigadores formatearon sus palabras descubiertas en expresiones formadas concatenando letras de un alfabeto que contiene sólo dos letras. A lo largo del estudio, notaron que dos palabras distintas cuyas expresiones formateadas tienen un número igual de letras, mayor que $2,$ difieren en al menos tres letras. Prueba que si su observación se cumple en efecto, entonces el número de expresiones formateadas que tienen $n\ge 3$ letras es a lo sumo $ \left[ \frac{2^n}{n+1} \right] .$

a) Sean dos números complejos distintos de cero $a,b.$ Demuestra que el área del triángulo formado por las representaciones de los afijos $0,a,b$ en el plano complejo es $\frac{1}{4}\left| \overline{a} b-a\overline{b} \right|.$ b) Sea un triángulo equilátero $ABC,$ su circunferencia circunscrita $\mathcal{C} ,$ su circuncentro $O,$ y dos puntos distintos $P_1,P_2$ en el interior de $\mathcal{C} .$ Prueba que podemos formar dos triángulos con lados $P_1A,P_1B,P_1C,$ respectivamente, $P_2A,P_2B,P_2C,$ cuyas áreas son iguales si y sólo si $OP_1=OP_2.$

Sea una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisface las condiciones: $$ \left\{\begin{matrix} f(x+y) &\le & f(x)+f(y) \\ f(tx+(1-t)y) &\le & t(f(x)) +(1-t)f(y) \end{matrix}\right. , $$ para todos los números reales $ x,y,t $ con $ t\in [0,1] . $ Prueba que: a) $ f(b)+f(c)\le f(a)+f(d) , $ para cualquier número real $ a,b,c,d $ tal que $ a\le b\le c\le d $ y $ d-c=b-a. $ b) para cualquier número natural $ n\ge 3 $ y cualquier $ n $ números reales $ x_1,x_2,\ldots ,x_n, $ se cumple la siguiente desigualdad. $$ f\left( \sum_{1\le i\le n} x_i \right) +(n-2)\sum_{1\le i\le n} f\left( x_i \right)\ge \sum_{1\le i<j\le n} f\left( x_i+x_j \right) $$

Sea un número natural $n\ge 2$ y $n$ números reales positivos $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ cuyo producto es $1.$ Prueba que la función $ f:\mathbb{R}_{>0}\longrightarrow\mathbb{R} ,\quad f(x)=\prod_{i=1}^n \left( 1+a_i^x \right) , $ es no decreciente.

Determina todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacen la desigualdad $$f(a^2) - f(b^2) \leq \left( f(a) + b\right)\left( a - f(b)\right),$$ para todo $a,b \in \mathbb R$ .