Olimpiada Distrital 2015 Problema 13
Si $ a,b,c $ representan las longitudes de los lados de un triángulo, demuestre la desigualdad: $$ 3\le\sum_{\text{cyc}}\sqrt{\frac{a}{-a+b+c}} . $$
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Olimpiada Distrital 2015 Problema 12
En el exterior del cuadrado $ ABCD $ se construye el triángulo isósceles $ ABE $ con $ \angle ABE=120^{\circ} . M $ es la intersección de la línea bisectriz del ángulo $ \angle EAB $ con su perpendicular que pasa por $ B; N $ es la intersección de $ AB $ con su perpendicular que pasa por $ M; P $ es la intersección de $ CN $ con $ MB. $ Si $ G $ es el centro de gravedad del triángulo $ ABE, $ demuestre que $ PG $ y $ AE $ son paralelas.
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Olimpiada Distrital 2015 Problema 11
En el segmento $ AC $ del triángulo $ ABC, $ sea $ M $ el punto medio de él, y sea $ N $ un punto en $ AM, $ distinto de $ A $ y $ M. $ La paralela por $ N $ con respecto a $ AB $ interseca a $ BM $ en $ P, $ la paralela por $ M $ con respecto a $ BC $ interseca a $ BN $ en $ Q, $ y la paralela por $ N $ con respecto a $ AQ $ interseca a $ BC $ en $ S. $ Demuestre que $ PS $ y $ AC $ son paralelas.
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Olimpiada Distrital 2015 Problema 10
a) Demuestre que si dos enteros no negativos $ p,q $ satisfacen la propiedad de que tanto $ \sqrt{2p-q} $ como $ \sqrt{2p+q} $ son enteros no negativos, entonces $ q $ es par. b) Determine cuántos números naturales $ m $ hay tales que $ \sqrt{2m-4030} $ y $ \sqrt{2m+4030} $ son ambos naturales.
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Olimpiada Distrital 2015 Problema 9
a) Demuestre que el número $ \sqrt{9-\sqrt{77}}\cdot\sqrt {2}\cdot\left(\sqrt{11}-\sqrt{7}\right)\cdot\left( 9+\sqrt{77}\right) $ es natural. b) Considere dos números reales $ x,y $ tales que $ xy=6 $ y $ x,y>2. $ Demuestre que $ x+y<5. $
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Olimpiada Distrital 2015 Problema 8
Determine todos los pares de números naturales, cuyos componentes tienen el mismo número de dígitos y el doble de su producto es igual al número formado concatenándolos.
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Olimpiada Distrital 2015 Problema 7
Determine los cuadrados perfectos $ \overline{aabcd} $ de cinco dígitos tales que $ \overline{dcbaa} $ es un cuadrado perfecto de cinco dígitos.
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Olimpiada Distrital 2015 Problema 6
Sea $ ABC $ un triángulo obtuso con $ AB=AC, M $ el punto simétrico de $ A $ con respecto a $ C, $ y $ P $ la intersección de la línea $ AB $ con la bisectriz perpendicular del segmento $ \overline{AB} . $ Sabiendo que $ PM $ es perpendicular a $ BC, $ demuestre que $ APM $ es equilátero.
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Olimpiada Distrital 2015 Problema 5
En una pizarra están escritos los números $ 11 $ y $ 13. $ Un paso significa sumar dos números escritos y escribirlo. Demuestre que: a) después de cualquier número de pasos, el número $ 86 $ no se escribirá. b) después de algún número de pasos, el número $ 2015 $ puede ser escrito.
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Olimpiada Distrital 2015 Problema 4
a) Demuestre que los tres últimos dígitos de $ 1038^2 $ son iguales a $ 4. $ b) Demuestre que hay infinitos cuadrados perfectos cuyos tres últimos dígitos son iguales a $ 4. $ c) Demuestre que no hay ningún cuadrado perfecto cuyos cuatro últimos dígitos sean iguales a $ 4. $
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