Considere la siguiente secuencia de conjuntos: $ \{ 1,2\} ,\{ 3,4,5\}, \{ 6,7,8,9\} ,... $ a) Encuentre el elemento más pequeño del término $ 100\text{-ésimo} $. b) ¿Es $ 2015 $ el elemento más grande de uno de estos conjuntos?

En un concurso de matemáticas hubo $ 50 $ participantes, a los que se les dieron $ 3 $ problemas para resolver. Los resultados han demostrado que cada candidato ha resuelto correctamente al menos un problema, y que un total de $ 100 $ problemas han sido evaluados por el jurado como correctos. Demuestre que hubo, como máximo, $ 25 $ ganadores que obtuvieron la máxima puntuación.

Determine todos los números naturales $ \overline{ab} $ con $ a<b $ que son iguales a la suma de todos los números naturales entre $ a $ y $ b, $ inclusive.

Considere dos conjuntos finitos disjuntos de enteros positivos, $A$ y $B$ , que tienen $n$ y $m$ elementos, respectivamente. Se sabe que todo $k$ que pertenece a $A \cup B$ satisface al menos una de las condiciones $k + 17 \in A$ y $k - 31 \in B$ . Demuestre que $17n = 31m$ .

Sea $ABC$ un triángulo en el que $AB < AC, D$ es el pie de la altura desde $A, H$ es el ortocentro, $O$ es el circuncentro, $M$ es el punto medio del lado $BC, A'$ es la reflexión de $A$ a través de $O$ , y $S$ es la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita. La tangente en $A'$ a la circunferencia circunscrita interseca a $SC$ y $SB$ en $X$ e $Y$ , respectivamente. Si $M,S,X,Y$ son concíclicos, demuestre que las líneas $OD$ y $SA'$ son paralelas.

Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $4k^2 +n$ es un número primo para todo entero no negativo $k$ menor que $n$ .

Si $a, b, c$ son números reales tales que a $b + bc + ca = 0$ , demuestre la desigualdad $$2(a^2 + b^2 + c^2)(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \ge 27a^2b^2c^2$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad ?

Los números del $1$ al $100$ están escritos en algún orden en un círculo. Llamamos a un par de números en el círculo 'bueno' si los dos números no son vecinos en el círculo y si al menos uno de los dos arcos que determinan en el círculo solo contiene números menores que ambos. ¿Cuál puede ser el número total de pares 'buenos' en el círculo?

En el triángulo agudo $ABC$ el punto $I$ es el incentro, $O$ es el circuncentro, mientras que $I_a$ es el excentro opuesto al vértice $A$ . El punto $A'$ es la reflexión de $A$ a través de la línea $BC$ . Demuestre que los ángulos $\angle IOI_a$ y $\angle IA'I_a$ son iguales.

Sean $a, b, c, d \ge 0$ tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4$ . Demuestre que $$\frac{a + b + c + d}{2} \ge 1 + \sqrt{abcd}$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?