En el triángulo acutángulo $ABC$ tenemos $\angle ACB = 45^\circ$ . Los puntos $A_1$ y $B_1$ son los pies de las alturas desde $A$ y $B$ , y $H$ es el ortocentro del triángulo. Consideramos los puntos $D$ y $E$ en los segmentos $AA_1$ y $BC$ tales que $A_1D = A_1E = A_1B_1$ . Demostrar que a) $A_1B_1 = \sqrt{ \frac{A_1B^2+A_1C^2}{2} }$ ; b) $CH=DE$ .

Un cuadrado de lado $n$ está formado por $n^2$ cuadrados unitarios, cada uno coloreado en rojo, amarillo o verde. Hallar el mínimo $n$ , tal que para cada coloración, existe una línea y una columna con al menos 3 cuadrados unitarios del mismo color (en la misma línea o columna).

Sea $ABC$ un triángulo y los puntos $M$ y $N$ en los lados $AB$ respectivamente $BC$ , tales que $2 \cdot \frac{CN}{BC} = \frac{AM}{AB}$ . Sea $P$ un punto en la recta $AC$ . Demostrar que las rectas $MN$ y $NP$ son perpendiculares si y sólo si $PN$ es la bisectriz del ángulo interior $\angle MPC$ .

Sea $\mathbb{L}$ un campo finito con $q$ elementos. Demuestre que: a) Si $q \equiv 3 \pmod 4$ y $n \ge 2$ es un entero positivo divisible por $q-1,$ entonces $x^n=(x^2+1)^n$ para todo $x \in \mathbb{L}^{\times}.$ b) Si existe un entero positivo $n \ge 2$ tal que $x^n=(x^2+1)^n$ para todo $x \in \mathbb{L}^{\times},$ entonces $q \equiv 3 \pmod 4$ y $q-1$ divide a $n.$

Sea $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ una función continua con $f(1)=0.$ Demuestre que el límite $$\lim_{t \nearrow 1} \left( \frac{1}{1-t} \int\limits_0^1x(f(tx)-f(x)) \mathrm{d}x\right)$$ existe y halle su valor.

Sea $(\mathbb{K},+, \cdot)$ un anillo de división en el que $x^2y=yx^2,$ para todo $x,y \in \mathbb{K}.$ Demuestre que $(\mathbb{K},+, \cdot)$ es conmutativo.

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función continua tal que $f(x)+\sin(f(x)) \ge x,$ para todo $x \in \mathbb{R}.$ Demuestre que $$\int\limits_0^{\pi} f(x) \mathrm{d}x \ge \frac{\pi^2}{2}-2.$$

Sean $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funciones con $g(x)=2f(x)+f(x^2),$ para todo $x \in \mathbb{R}.$ a) Demuestre que, si $f$ es acotada en un entorno del origen y $g$ es continua en el origen, entonces $f$ es continua en el origen. b) Proporcione un ejemplo de función $f$ , discontinua en el origen, para la cual la función $g$ es continua en el origen.

Sean $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).$ Consideramos la función $f:\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),$ definida por $f(Z)=AZ+B\overline{Z},$ $Z \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),$ donde $\overline{Z}$ es la matriz cuyas entradas son los conjugados de las entradas correspondientes de $Z.$ Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: $(1)$ la función $f$ es inyectiva; $(2)$ la función $f$ es sobreyectiva; $(3)$ las matrices $A+B$ y $A-B$ son invertibles.

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ una matriz invertible. a) Demuestre que los valores propios de $AA^T$ son números reales positivos. b) Asumimos que hay dos enteros positivos distintos, $p$ y $q$ , tales que $(AA^T)^p=(A^TA)^q.$ Demuestre que $A^T=A^{-1}.$