Sea $I \subset \mathbb{R}$ un intervalo abierto y $f:I \to \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable tal que $f(x)f''(x)=0,$ para todo $x \in I.$ Demuestre que $f''(x)=0,$ para todo $x \in I.$

Consideramos un entero $n \ge 3,$ el conjunto $S=\{1,2,3,\ldots,n\}$ y el conjunto $\mathcal{F}$ de las funciones de $S$ a $S.$ Decimos que $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ es un conjunto generador para $\mathcal{H} \subset \mathcal{F}$ si cualquier función en $\mathcal{H}$ puede representarse como una composición de funciones de $\mathcal{G}.$ a) Sean las funciones $a:S \to S,$ $a(n-1)=n,$ $a(n)=n-1$ y $a(k)=k$ para $k \in S \setminus \{n-1,n\}$ y $b:S \to S,$ $b(n)=1$ y $b(k)=k+1$ para $k \in S \setminus \{n\}.$ Demuestre que $\{a,b\}$ es un conjunto generador para el conjunto $\mathcal{B}$ de funciones biyectivas de $\mathcal{F}.$ b) Demuestre que el número más pequeño de elementos que tiene un conjunto generador de $\mathcal{F}$ es $3.$

Sea $n \ge 2$ un entero positivo y $\mathcal{F}$ el conjunto de funciones $f:\{1,2,\ldots,n\} \to \{1,2,\ldots,n\}$ que satisfacen $f(k) \le f(k+1) \le f(k)+1,$ para todo $k \in \{1,2,\ldots,n-1\}.$ a) Halle el cardinal del conjunto $\mathcal{F}.$ b) Halle el número total de puntos fijos de las funciones en $\mathcal{F}.$

Consideramos el pentágono inscriptible $ABCDE$ en el que $AB=BC=CD$ y el centroide del pentágono coincide con el circuncentro. Demuestre que el pentágono $ABCDE$ es regular. El centroide de un pentágono es el punto en el plano del pentágono cuyo vector de posición es igual al promedio de los vectores de posición de los vértices.

Resuelva sobre los números reales la ecuación $$3^{\log_5(5x-10)}-2=5^{-1+\log_3x}.$$

Sea $a$ un entero positivo dado. Consideramos la sucesión $(x_n)_{n \ge 1}$ definida por $x_n=\frac{1}{1+na},$ para todo entero positivo $n.$ Demuestre que para cualquier entero $k \ge 3,$ existen enteros positivos $n_1<n_2<\ldots<n_k$ tales que los números $x_{n_1},x_{n_2},\ldots,x_{n_k}$ son términos consecutivos en una progresión aritmética.

Halle las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen $$(f(x)-y)f(x+f(y))=f(x^2)-yf(y),$$ para todos los números reales $x$ e $y.$

Sean $a$ y $b$ dos números en el intervalo $(0,1)$ tales que $a$ es racional y $\{na\} \ge \{nb\},$ para todo entero no negativo $n.$ Demuestre que $a=b.$ (Nota: $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x.$)

Los puntos $D$ y $E$ están en el lado $(BC)$ del triángulo $ABC$ tal que $D$ está entre $B$ y $E.$ Un punto $R$ en el segmento $(AE)$ se llama notable si las rectas $PQ$ y $BC$ son paralelas, donde $\{P\}=DR \cap AC$ y $\{Q\}=CR \cap AB.$ Un punto $R'$ en el segmento $(AD)$ se llama notable si las rectas $P'Q'$ y $BC$ son paralelas, donde $\{P'\}=BR' \cap AC$ y $\{Q'\}=ER' \cap AB.$ a) Si existe un punto notable en el segmento $(AE),$ demuestre que cualquier punto del segmento $(AE)$ es notable. b) Si cada uno de los segmentos $(AD)$ y $(AE)$ contiene un punto notable, demuestre que $BD=CE=\varphi \cdot DE,$ donde $\varphi= \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es la razón áurea.

Sea $K\subseteq \mathbb C$ un campo con las operaciones de $\mathbb C$ tal que i) K tiene exactamente dos endomorfismos, a saber, f y g ii) si f(x)=g(x) entonces $x\in\mathbb Q$ . Probar que existe un entero $d\neq 1$ libre de cuadrados tal que $K=\mathbb Q(\sqrt d)$ .