Un anillo $A$ se llama Booleano si $x^2 = x$ para todo $x \in A$ . Probar que: a) Un conjunto finito $A$ con $n \geq 2$ elementos puede ser equipado con la estructura de un anillo Booleano si y sólo si $n = 2^k$ para algún entero positivo $k$ . b) El conjunto de enteros no negativos puede ser equipado con la estructura de un anillo Booleano.

$\textbf{a) }$ Sea $p \geq 2$ un número natural y $G_p = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} \lbrace z \in \mathbb{C} \mid z^{p^n}=1 \rbrace.$ Probar que $(G_p, \cdot)$ es un subgrupo de $(\mathbb{C}^*, \cdot).$ $\textbf{b) }$ Sea $(H, \cdot)$ un subgrupo infinito de $(\mathbb{C}^*, \cdot).$ Probar que todos los subgrupos propios de $H$ son finitos si y sólo si $H=G_p$ para algún primo $p.$

Supongamos que $a,b\in\mathbb{R}^+$ que $a+b<1$ y $f:[0,+\infty) \rightarrow [0,+\infty) $ sea la función creciente tal que $\forall x\geq 0 ,\int _0^x f(t)dt=\int _0^{ax} f(t)dt+\int _0^{bx} f(t)dt$ . Demostrar que $\forall x\geq 0 , f(x)=0$

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función continua con la propiedad de que para cualquier $a,b \in \mathbb{R},$ $a<b,$ existen $c_1,c_2 \in [a,b],$ $c_1 \le c_2$ tales que $f(c_1)= \min_{x \in [a,b]} f(x)$ y $f(c_2)= \max_{x \in [a,b]} f(x).$ Demostrar que $f$ es creciente.

Supongamos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función diferenciable para la cual la desigualdad $f'(x) \leq f'(x+\frac{1}{n})$ se cumple para todo $x\in\mathbb{R}$ y todo $n\in\mathbb{N}$ . Demostrar que f es continuamente diferenciable

Sea $(a_n)_{n \ge 1}$ una sucesión de números reales que satisface las propiedades: la sucesión $x_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k^2$ es convergente; la sucesión $y_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ es no acotada. Demostrar que la sucesión $(b_n)_{n \ge 1}$ dada por $b_n=\{y_n\}$ es divergente. Nota: $\{ x \}$ denota la parte fraccionaria de $x.$

Consideramos las matrices no nulas $A_0, A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}),$ $n \ge 2,$ con las propiedades: $A_0 \neq aI_2$ para cualquier $a \in \mathbb{R}$ y $A_0A_k=A_kA_0$ para $k= \overline{1,n}.$ Probar que a) $\det \left(\sum\limits_{k=1}^n A_k^2 \right) \ge 0$ ; b) Si $\det \left(\sum\limits_{k=1}^n A_k^2 \right) = 0$ y $A_2 \ne aA_1$ para cualquier $a \in \mathbb{R},$ entonces $\sum\limits_{k=1}^n A_k^2=O_2.$

Supongamos que $n\geq 2$ y $0<x_1<x_2<...<x_n$ son números enteros. Denotamos que : \[ S_k=\sum_{A\subset \{x_1,x_2,...,x_k\}} \frac{1}{\prod_{a\in A}a} , k=1,2,...,n. \] (donde $A$ es un subconjunto no vacío). Demostrar que si $S_n ,S_{n-1}$ fueran números enteros positivos , entonces $\forall k : S_k$ es un entero positivo.

Sea $ABCD$ un tetraedro y $A'$ , $B'$ , $C'$ puntos arbitrarios en las aristas $[DA]$ , $[DB]$ , $[DC]$ , respectivamente. Se consideran los puntos $P_c \in [AB]$ , $P_a \in [BC]$ , $P_b \in [AC]$ y $P'_c \in [A'B']$ , $P'_a \in [B'C']$ , $P'_b \in [A'C']$ tales que $$\frac{P_cA}{P_cB}= \frac{P'_cA'}{P'_cB'}=\frac{AA'}{BB'}\,\,\, , \,\,\,\frac{P_aB}{P_aC}= \frac{P'_aB'}{P'_aC'}=\frac{BB'}{CC'}\,\,\, , \,\,\, \frac{P_bC}{P_bA}= \frac{P'_bC'}{P'_bA'}=\frac{CC'}{AA'}$$ Probar que: a) las líneas $AP_a,$ $BP_b$ , $CP_c$ tienen un punto común $P$ y las líneas $A'P'_a$ , $B'P'_b$ , $C'P'_c$ tienen un punto común $P'$ b) $\frac{PC}{PP_c}=\frac{P'C'}{P'P'_c} $ c) si $A', B', C'$ son puntos variables en las aristas $[DA]$ , $[DB]$ , $[DC]$ , entonces la línea $PP'$ es siempre paralela a una línea fija.

Sea $a \ge1$ un número real y $z$ un número complejo tal que $| z + a | \le a$ y $|z^2+ a | \le a$ . Demostrar que $| z | \le a$ .