Encuentra todos los polinomios $ p$ de una variable con coeficientes enteros tales que si $ a$ y $ b$ son números naturales tales que $ a + b$ es un cuadrado perfecto, entonces $ p(a) + p(b)$ también es un cuadrado perfecto.

Sea $ S$ un conjunto con $ n$ elementos, y $ F$ una familia de subconjuntos de $ S$ con $ 2^{n-1}$ elementos, tal que para cada $ A,B,C\in F$ , $ A\cap B\cap C$ no está vacío. Demuestre que la intersección de todos los elementos de $ F$ no está vacía.

Demuestre que en un torneo con 799 equipos, existen 14 equipos, que se pueden dividir en grupos de forma que todos los equipos del primer grupo hayan ganado a todos los equipos del segundo grupo.

Sean $a,b,c > 0$ y $ab+bc+ca = 1$ . Demuestre que: \[ \sqrt {a^3 + a} + \sqrt {b^3 + b} + \sqrt {c^3 + c}\geq2\sqrt {a + b + c}. \]

Sean $ P_1,P_2,P_3,P_4$ puntos en la esfera unitaria. Demuestre que $ \sum_{i\neq j}\frac1{|P_i-P_j|}$ toma su valor mínimo si y sólo si estos cuatro puntos son vértices de una pirámide regular.

Suponga que $ T$ es un árbol con $ k$ aristas. Demuestre que el cubo $ k$ -dimensional se puede dividir en grafos isomorfos a $ T$ .

Suponga que $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ y $ l'$ es una línea tangente al incírculo. Sea $ l$ otra línea que interseca $ AB,AC,BC$ respectivamente en $ C',B',A'$ . Dibujamos una tangente desde $ A'$ al incírculo distinta de $ BC$ , y esta línea se interseca con $ l'$ en $ A_1$ . $ B_1,C_1$ se definen de manera similar. Demuestre que $ AA_1,BB_1,CC_1$ son concurrentes.

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ tal que para cada $ x,y\in\mathbb R$ : \[ f(xf(y)) + y + f(x) = f(x + f(y)) + yf(x)\]

Encuentra todos los números naturales $x,y>1$ y primos $p$ que satisfacen $$\frac{x^2-1}{y^2-1}=(p+1)^2. $$

Sahand y Gholam juegan en una tabla de $1403\times 1403$. Inicialmente todas las celdas cuadradas unitarias son blancas. Para cada fila y columna hay una llave para ella (totalmente 2806 llaves). Comenzando con Sahand, los jugadores se turnan alternativamente para presionar un botón que aún no se ha presionado, hasta que se presionan todos los botones. Cuando Sahand presiona un botón, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven negras, independientemente de los colores anteriores. Cuando Gholam presiona un botón, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven rojas, independientemente de los colores anteriores. Finalmente, la puntuación de Gholam es igual al número de cuadrados rojos menos el número de cuadrados negros y la puntuación de Sahand es igual al número de cuadrados negros menos el número de cuadrados rojos. Determina el número mínimo de puntuaciones que Gholam puede garantizar sin si ambos jugadores juegan sus mejores movimientos.