Un súper número es una secuencia de números $0,1,2,\ldots,9$ tal que tiene infinitos dígitos a la izquierda. Por ejemplo, $\ldots 3030304$ es un súper número. Ten en cuenta que todos los enteros positivos son súper números, que tienen ceros antes de sus dígitos originales (por ejemplo, podemos representar el número $4$ como $\ldots, 00004$ ). Al igual que los enteros positivos, podemos sumar y multiplicar súper números. Por ejemplo: \n\[ \begin{array}{cc}& \ \ \ \ldots 3030304 \\ &+ \ldots4571378\\ &\overline{\qquad \qquad \qquad }\\ & \ \ \ \ldots 7601682 \end{array} ]\nAnd \n\[ \begin{array}{cl}& \ \ \ \ldots 3030304 \\ &\times \ldots4571378\\ &\overline{\qquad \qquad \qquad }\\ & \ \ \ \ldots 4242432 \\ & \ \ \ \ldots 212128 \\ & \ \ \ \ldots 90912 \\ & \ \ \ \ldots 0304 \\ & \ \ \ \ldots 128 \\ & \ \ \ \ldots 20 \\ & \ \ \ \ldots 6 \\ &\overline{\qquad \qquad \qquad } \\ & \ \ \ \ldots 5038912 \end{array} ]\na) Supón que $A$ es un súper número. Demuestra que existe un súper número $B$ tal que $A+B=\stackrel{\leftarrow}{0}$ (Nota: $\stackrel{\leftarrow}{0}$ significa un súper número que todos sus dígitos son cero).\nb) Encuentra todos los súper números $A$ para los cuales existe un súper número $B$ tal que $A \times B=\stackrel{\leftarrow}{0}1$ (Nota: $\stackrel{\leftarrow}{0}1$ significa el súper número $\ldots 00001$ ).\nc) ¿Es cierto que si $A \times B= \stackrel{\leftarrow}{0}$ , entonces $A=\stackrel{\leftarrow}{0}$ o $B=\stackrel{\leftarrow}{0}$ ? Justifica tu respuesta.

En un tetraedro sabemos que la suma de los ángulos de todos los vértices es $180^\circ.$ (por ejemplo, para el vértice $A$, tenemos $\angle BAC + \angle CAD + \angle DAB=180^\circ.$ ) Demuestra que las caras de este tetraedro son cuatro triángulos congruentes.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que podamos dividir el conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$ en tres conjuntos con la misma suma de miembros.

Sea $M=\{1,2,3,\ldots, 10000\}.$ Demuestra que existen $16$ subconjuntos de $M$ tales que para cada $a \in M,$ existen $8$ de esos subconjuntos cuya intersección es exactamente $\{a\}.$

Los puntos $D,E$ y $F$ se eligen en los lados $BC,AC$ y $AB$ del triángulo $ABC$, respectivamente. Demuestra que los triángulos $ABC$ y $DEF$ tienen el mismo centroide si y sólo si \[\frac{BD}{DC} = \frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}\]

Se eligen $21$ números distintos del conjunto $\{1,2,3,\ldots,2046\}.$ Demuestra que podemos elegir tres números distintos $a,b,c$ entre esos $21$ números tales que \[bc<2a^2<4bc\]

En el triángulo acutángulo $ ABC$ , $ D$ es la intersección de la altitud que pasa por $ A$ con $ BC$ e $ I_a$ es el excentro del triángulo con respecto a $ A$ . $ K$ es un punto en la extensión de $ AB$ desde $ B$ , para el cual $ \angle AKI_a=90^\circ+\frac 34\angle C$ . $ I_aK$ interseca la extensión de $ AD$ en $ L$ . Demuestre que $ DI_a$ biseca el ángulo $ \angle AI_aB$ si y sólo si $ AL=2R$ . ( $ R$ es el circunradio de $ ABC$ )

$ k$ es un número natural dado. Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que para cada $ m,n\in\mathbb{N}$ se cumple lo siguiente: \[ f(m)+f(n)\mid (m+n)^k\]

En el triángulo $ ABC$ , $ \angle B$ es mayor que $ \angle C$ . $ T$ es el punto medio del arco $ BAC$ de la circunferencia circunscrita de $ ABC$ e $ I$ es el incentro de $ ABC$ . $ E$ es un punto tal que $ \angle AEI=90^\circ$ y $ AE\parallel BC$ . $ TE$ interseca la circunferencia circunscrita de $ ABC$ por segunda vez en $ P$ . Si $ \angle B=\angle IPB$ , encuentre el ángulo $ \angle A$ .

$ I_a$ es el excentro del triángulo $ ABC$ con respecto a $ A$ , y $ AI_a$ interseca la circunferencia circunscrita de $ ABC$ en $ T$ . Sea $ X$ un punto en $ TI_a$ tal que $ XI_a^2=XA.XT$ . Dibuje una línea perpendicular desde $ X$ a $ BC$ de modo que interseca $ BC$ en $ A'$ . Defina $ B'$ y $ C'$ de la misma manera. Demuestre que $ AA'$ , $ BB'$ y $ CC'$ son concurrentes.