$H,I,O,N$ son el ortocentro, incentro, circuncentro y punto de Nagel del triángulo $ABC$. $I_{a},I_{b},I_{c}$ son los excentros de $ABC$ correspondientes a los vértices $A,B,C$. $S$ es un punto tal que $O$ es el punto medio de $HS$. Demuestra que el centroide de los triángulos $I_{a}I_{b}I_{c}$ y $SIN$ coinciden.

Sean $M$ y $N$ puntos en el lado $BC$ del triángulo $ABC$, con el punto $M$ ubicado en el segmento $BN$, tal que $BM = CN$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AN$ y $AM$, respectivamente, tales que $ \measuredangle PMC =\measuredangle MAB$ y $ \measuredangle QNB =\measuredangle NAC$. Demuestra que $ \measuredangle QBC =\measuredangle PCB$.

Los círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son tangentes entre sí en $K$ y son tangentes al círculo $C$ en $M$ y $N$. La tangente externa de $C_{1}$ y $C_{2}$ interseca a $C$ en $A$ y $B$. $AK$ y $BK$ intersecan al círculo $C$ en $E$ y $F$ respectivamente. Si $AB$ es el diámetro de $C$, demuestra que $EF$ y $MN$ y $OK$ son concurrentes. ( $O$ es el centro del círculo $C$. )

En el triángulo $ABC$, $AD$ es la bisectriz del ángulo ( $D$ está en $BC$) si $AB+AD=CD$ y $AC+AD=BC$, ¿cuáles son los ángulos de $ABC$?

$M$ es el punto medio de $BC$. $P$ es un punto arbitrario en $BC$. $C_{1}$ es tangente al círculo grande. Supongamos que el radio de $C_{1}$ es $r_{1}$ El radio de $C_{4}$ es igual al radio de $C_{1}$ y $C_{4}$ es tangente a $BC$ en P. $C_{2}$ y $C_{3}$ son tangentes al círculo grande y a la línea $BC$ y al círculo $C_{4}$. Demuestra : \[r_{1}+r_{2}+r_{3}=R\] ( $R$ es el radio del círculo grande)

$\omega$ es la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Dibujamos una línea paralela a $BC$ que interseca a $AB,AC$ en $E,F$ e interseca a $\omega$ en $U,V$. Asumamos que $M$ es el punto medio de $BC$. Sea $\omega'$ la circunferencia circunscrita de $UMV$. Sabemos que $R(ABC)=R(UMV)$. $ME$ y $\omega'$ se intersecan en $T$, y $FT$ interseca a $\omega'$ en $S$. Demuestra que $EF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $MCS$.

$a_{n}$ ( $n$ es entero) es una secuencia de reales positivos tal que \[a_{n}\geq \frac{a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n-1}+a_{n-2}}4\] Demuestra que $a_{n}$ es constante.

$a_{n}$ es una secuencia tal que $a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=3$ , y \[a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}+\frac{a_{n}^{2}}{a_{n-2}}\] Demuestra que para cada $n$ natural, $a_{n}$ es entero.

$f: \mathbb R\longrightarrow\mathbb R^{+}$ es una función no decreciente. Demuestra que existe un punto $a\in\mathbb R$ tal que \[f(a+\frac1{f(a)})<2f(a)\]

Sean $a,b,c\in\mathbb R^{n}, a+b+c=0$ y $\lambda>0$. Demuestra que \[\prod_{cycle}\frac{|a|+|b|+(2\lambda+1)|c|}{|a|+|b|+|c|}\geq(2\lambda+3)^{3}\]