En cada uno de (a) a (d) tiene que encontrar una función sobreyectiva estrictamente creciente de A a B o demostrar que no existe ninguna. (a) $A=\{x|x\in \mathbb{Q},x\leq \sqrt{2}\}$ y $B=\{x|x\in \mathbb{Q},x\leq \sqrt{3}\}$ (b) $A=\mathbb{Q}$ y $B=\mathbb{Q}\cup \{\pi \} $ En (c) y (d) decimos $(x,y)>(z,t)$ donde $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ , siempre que $x>z$ o $x=z$ e $y>t$ . (c) $A=\mathbb{R}$ y $B=\mathbb{R}^2$ (d) $X=\{2^{-x}| x\in \mathbb{N}\}$ , entonces $A=X \times (X\cup \{0\})$ y $B=(X \cup \{ 0 \}) \times X$ (e) Si $A,B \subset \mathbb{R}$ , tal que existe una función sobreyectiva no decreciente de $A$ a $B$ y una función sobreyectiva no decreciente de $B$ a $A$ , ¿existe una función sobreyectiva estrictamente creciente de $B$ a $A$ ?

Demuestre que existen 100 números naturales $a_1 < a_2 < ... < a_{99} < a_{100}$ ( $ a_i < 10^6$ ) tales que A , A+A , 2A , A+2A , 2A + 2A son cinco conjuntos separados? $A = \{a_1 , a_2 ,... , a_{99} ,a_{100}\}$ $2A = \{2a_i \vert 1\leq i\leq 100\}$ $A+A = \{a_i + a_j \vert 1\leq i<j\leq 100\}$ $A + 2A = \{a_i + 2a_j \vert 1\leq i,j\leq 100\}$ $2A + 2A = \{2a_i + 2a_j \vert 1\leq i<j\leq 100\}$

$X$ e $Y$ son dos puntos que se encuentran en o en las extensiones del lado $BC$ de $\triangle{ABC}$ tal que $\widehat{XAY} = 90$ . Sea $H$ el ortocentro de $\triangle{ABC}$ . Tome $X'$ e $Y'$ como los puntos de intersección de $(BH,AX)$ y $(CH,AY)$ respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle{CYY'}$ , la circunferencia circunscrita de $\triangle{BXX'}$ y $X'Y'$ son concurrentes.

$D$ es un punto arbitrario que se encuentra en el lado $BC$ de $\triangle{ABC}$ . El círculo $\omega_1$ es tangente a los segmentos $AD$ , $BD$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ y el círculo $\omega_2$ es tangente a los segmentos $AD$ , $CD$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ . Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$ con $BC$ respectivamente y tomemos $M$ como el punto medio de $XY$ . Sea $T$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ . Si $I$ es el incentro de $\triangle{ABC}$ , demuestre que $TM$ pasa por el punto medio de $ID$ .

Puntos distintos $B,B',C,C'$ se encuentran en una línea arbitraria $\ell$ . $A$ es un punto que no se encuentra en $\ell$ . Una línea que pasa por $B$ y es paralela a $AB'$ se interseca con $AC$ en $E$ y una línea que pasa por $C$ y es paralela a $AC'$ se interseca con $AB$ en $F$ . Sea $X$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle{ABC}$ y $\triangle{AB'C'}$ ( $A \neq X$ ) . Demuestre que $EF \parallel AX$ .

$\triangle{ABC}$ es isósceles $(AB=AC)$ . Los puntos $P$ y $Q$ existen dentro del triángulo tal que $Q$ se encuentra dentro de $\widehat{PAC}$ y $\widehat{PAQ} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$ . También tenemos $BP=PQ=CQ$ . Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $(AP,BQ)$ y $(AQ,CP)$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $PQYX$ es cíclico.

En la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle ABC,$ $AA'$ es un diámetro. Dibujamos líneas $l'$ y $l$ desde $A'$ paralelas con la bisectriz interna y externa del vértice $A$ . $l'$ Corta $AB , BC$ en $B_1$ y $B_2$ . $l$ Corta $AC , BC$ en $C_1$ y $C_2$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle ABC$ $\triangle CC_1C_2$ y $\triangle BB_1B_2$ tienen un punto en común.

Sean $L_1, L_2, L_3, L_4$ cuatro rectas en el espacio tales que no hay tres de ellas en el mismo plano. Sean $L_1, L_2$ se intersecan en $A$ , $L_2,L_3$ se intersecan en $B$ y $L_3, L_4$ se intersecan en $C.$ Encontrar el número mínimo y máximo de rectas en el espacio que intersecan a $L_1, L_2, L_3$ y $L_4.$ Justificar su respuesta.

Encontrar todas las funciones continuas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que\n\[f(x^2-y^2)=f(x)^2 + f(y)^2, \quad \forall x,y \in \mathbb R.\]

Calcular el producto:\n\[A=\sin 1^\circ \times \sin 2^\circ \times \sin 3^\circ \times \cdots \times \sin 89^\circ\]