Para cualquier número real $x , y ,z$ demuestre que : $$(x+y+z)^2 + \sum_{cyc}{\frac{(x+y)(y+z)}{1+|x-z|}} \ge xy+yz+zx$$ Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR view topic

Para un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ con $\angle A=90$ tenemos $AC=2AB$. El punto $M$ es el punto medio del lado $BC$ e $I$ es el incentro del triángulo $\triangle ABC$. La línea que pasa por $M$ y es perpendicular a $BI$ se intersecta con las líneas $BI$ y $AC$ en los puntos $H$ y $K$ respectivamente. Si la semi-recta $IK$ corta la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ en $F$ y $S$ es el segundo punto de intersección de la línea $FH$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$, entonces demuestre que $SM$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $\triangle ABC$. Propuesto por Mahdi Etesami Fard Shayan-TayefehIR view topic

Sea $G$ un grafo simple con $11$ vértices etiquetados como $v_{1} , v_{2} , ... , v_{11}$ tal que el grado de $v_1$ es igual a $2$ y el grado de los otros vértices es igual a $3$. Si para cualquier conjunto $A$ de estos vértices con $|A| \le 4$, el número de vértices que son adyacentes a al menos un vértice en $A$ y no están en $A$ ellos mismos es al menos igual a $|A|$, entonces encuentre el número máximo posible para el diámetro de $G$. (La distancia entre dos vértices de un grafo es el número de aristas del camino más corto entre ellos y el diámetro de un grafo es la mayor distancia entre pares arbitrarios en $V(G)$.) Propuesto por Alireza Haqi Shayan-TayefehIR view topic

Los polinomios $k_n(x_1, \ldots, x_n)$ , donde $n$ es un entero no negativo, satisfacen las siguientes condiciones \[k_0=1\] \[k_1(x_1)=x_1\] \[k_n(x_1, \ldots, x_n) = x_nk_{n-1}(x_1, \ldots , x_{n-1}) + (x_n^2+x_{n-1}^2)k_{n-2}(x_1,\ldots,x_{n-2})\] Demuestre que para cada $n$ no negativo tenemos $k_n(x_1,\ldots,x_n)=k_n(x_n,\ldots,x_1)$ .

Tenemos una máquina que tiene una entrada y una salida. La entrada es una letra del conjunto finito $I$ y la salida es una lámpara que en cada momento tiene uno de los colores del conjunto $C=\{c_1,\dots,c_p\}$ . En cada momento la máquina tiene un estado interno que es uno de los $n$ miembros del conjunto finito $S$ . La función $o: S \rightarrow C$ es una función sobreyectiva que define que en cada estado, qué color debe tener la lámpara, y la función $t:S \times I \rightarrow S$ es una función que define cómo el dar cada entrada en cada estado cambia el estado. Solo veremos la lámpara y no tenemos información directa del estado del coche en el momento actual. En otras palabras, una máquina es $M=(S,I,C,o,t)$ tal que $S,I,C$ son finitos, $t:S \times I \rightarrow S$ , y $o:S \rightarrow C$ es sobreyectiva. Se garantiza que para cada dos estados internos diferentes, hay una secuencia de entradas tal que el color de la lámpara después de dar la secuencia a la máquina en el primer estado es diferente del color de la lámpara después de dar la secuencia a la máquina en el segundo estado. (a) La máquina $M$ tiene $n$ estados internos diferentes. Demuestre que para cada dos estados internos diferentes, hay una secuencia de entradas de longitud no mayor que $n-p$ tal que el color de la lámpara después de dar la secuencia a la máquina en el primer estado es diferente del color de la lámpara después de dar la secuencia a la máquina en el segundo estado. (b) Demuestre que para una máquina $M$ con $n$ estados internos diferentes, existe un algoritmo con no más de $n^2$ entradas que, comenzando en cualquier estado interno desconocido, al final del algoritmo el estado de la máquina en ese momento se conoce. ¿Puede demostrar la afirmación anterior para $\frac{n^2}{2}$ ?

Sea $P$ un polinomio mónico de grado impar mayor que uno tal que existe una función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que para cada $x \in \mathbb{R}$ , \[f(P(x))=P(f(x))\] (a) Demuestre que hay un número finito de números naturales en el rango de $f$ . (b) Demuestre que si $f$ no es constante entonces la ecuación $P(x)-x=0$ tiene al menos dos soluciones reales. (c) Para cada natural $n>1$ demuestre que existe una función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ y un polinomio mónico de grado impar mayor que uno $P$ tal que para cada $x \in \mathbb{R}$ , \[f(P(x))=P(f(x))\] y el rango de $f$ contiene exactamente $n$ números diferentes.

Un polígono no necesariamente no plano en $\mathbb{R}^3$ se llama Polígono de cuadrícula si cada uno de sus bordes es paralelo a uno de los ejes. (a) Hay un ángulo recto entre cada dos lados vecinos del polígono de la cuadrícula, el plano que contiene este ángulo podría ser paralelo al plano $xy$, al plano $yz$ o al plano $xz$. Demuestre que la paridad del número de ángulos que el plano que contiene cada uno de ellos es paralelo al plano $xy$ es igual a la paridad del número de ángulos que el plano que contiene cada uno de ellos es paralelo al plano $yz$ y la paridad del número de ángulos que el plano que contiene cada uno de ellos es paralelo al plano $zx$. (b) Un polígono de cuadrícula se llama Inscrito si hay un punto en el espacio que tiene una distancia igual de todos los vértices del polígono. Demuestre que cualquier hexágono de cuadrícula no plano está inscrito. (c) ¿Existe un 2014-gono de cuadrícula sin vértices repetidos tal que exista un plano que interseca todos sus bordes? (d) Si $a,b,c \in \mathbb{N}-\{1\}$ , demuestre que $a,b,c$ son longitudes laterales de un triángulo si y solo si existe un polígono de cuadrícula en el que el número de sus bordes que son paralelos al eje $x$ es $a$ , el número de sus bordes que son paralelos al eje $y$ es $b$ y el número de sus bordes que son paralelos al eje $z$ es $c$ .

Sea $P$ un polígono regular de $2n$ lados. Una rombo-ulación de $P$ es dividir $P$ en rombos tal que ninguno se interseca y ningún vértice de ningún rombo está en el borde de otros rombos o $P$ . (a) Demuestre que el número de rombos es una función de $n$ . Encuentre el valor de esta función. También encuentre el número de vértices y aristas de los rombos como una función de $n$ . (b) Demuestre o refute que siempre existe una arista $e$ de $P$ tal que al borrar todos los segmentos paralelos a $e$ los rombos restantes están conectados. (c) ¿Es cierto que cada dos rombo-ulaciones pueden convertirse entre sí utilizando el siguiente algoritmo varias veces? Algoritmo: Tome un hexágono, no necesariamente regular, que consta de 3 rombos y vuelva a rombo-ular el hexágono. (d) Sea $f(n)$ el número de formas de rombo-ular $P$ . Demuestre que: \[\Pi_{k=1}^{n-1} ( \binom{k}{2} +1) \leq f(n) \leq \Pi_{k=1}^{n-1} k^{n-k} \]

(a) $n$ es un número natural. $d_1,\dots,d_n,r_1,\dots ,r_n$ son números naturales tales que para cada $i,j$ que $1\leq i < j \leq n$ tenemos $(d_i,d_j)=1$ y $d_i\geq 2$ . Demuestre que existe un $x$ tal que (i) $1 \leq x \leq 3^n$ (ii)Para cada $1 \leq i \leq n$ \[x \overset{d_i}{\not\equiv} r_i\] (b) Para cada $\epsilon >0$ demuestre que existe un natural $N$ tal que para cada $n>N$ y cada $d_1,\dots,d_n,r_1,\dots ,r_n$ que satisfacen las condiciones anteriores existe un $x$ que satisface (ii) tal que $1\leq x \leq (2+\epsilon )^n$ .

Considere un campo plano en el que existe un valle en forma de una franja infinita con un ancho arbitrario $\omega$ . Existe un poliedro de diámetro $d$ (El diámetro en un poliedro es la distancia máxima de los puntos en el poliedro) está en un lado y un pozo de diámetro $d$ en el otro lado del valle. Queremos rodar el poliedro y meterlo en el pozo de tal manera que el poliedro y el campo siempre se encuentren en un punto al menos mientras se rueda (Si el poliedro y el campo se encuentran en un punto al menos, entonces el poliedro no caería al valle). Para cruzar el puente, hemos construido un puente rectangular con un ancho de $\frac{d}{10}$ sobre el puente. Demuestre que siempre podemos meter el poliedro en el pozo considerando las condiciones mencionadas. (Obtendrá una buena puntuación si demuestra la decisión para $\omega = 0$ ) .