Tome una página de ajedrez de $n \times n$. Determine el $n$ tal que podamos poner los números $1,2,3, \ldots ,n$ en los cuadrados de la página tal que sepamos que las siguientes dos condiciones son verdaderas: a) para cada fila sabemos que todos los números $1,2,3, \ldots ,n$ han aparecido en ella y los números que están en los cuadrados negros de esa fila tienen la misma suma que la suma de los números en los cuadrados blancos de esa fila. b) para cada columna sabemos que todos los números $1,2,3, \ldots ,n$ han aparecido en ella y los números que están en los cuadrados negros de esa columna tienen la misma suma que la suma de los números en los cuadrados blancos de esa columna.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para cualquier valor real de $x,y$ tenemos: $$f(xf(y)+f(x)+y)=xy+f(x)+f(y)$$

Sean $E$ y $F$ en $AC$ y $AB$ respectivamente en $\triangle ABC$ tal que $DE || BC$, luego dibuje la línea $l$ a través de $A$ tal que $l || BC$. Sean $D'$ y $E'$ las reflexiones de $D$ y $E$ con respecto a $l$ respectivamente. Demuestre que $D'B, E'C$ y $l$ son congruentes.

Dos puntos $P$ y $Q$ se encuentran en el lado $BC$ del triángulo $ABC$ y su distancia desde el punto medio de $BC$ es igual. Las perpendiculares desde $P$ y $Q$ a $BC$ intersecan a $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ , respectivamente . $M$ es el punto de intersección de $PF$ y $EQ$ . Si $H_1$ y $H_2$ son los ortocentros de los triángulos $BFP$ y $CEQ$ , respectivamente, demuestra que $ AM\perp H_1H_2 $.

Una línea tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ ( $AC>AB$ ) en $A$ se interseca con la extensión de $BC$ en $P$ . $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ . El punto $X$ se encuentra en $OP$ tal que $\measuredangle AXP=90^\circ$ . Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en $AB$ y $AC$ , respectivamente, y están en un lado de la línea $OP$ tal que $ \measuredangle EXP=\measuredangle ACX $ y $\measuredangle FXO=\measuredangle ABX $ . $K$ , $L$ son puntos de intersección de $EF$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestra que $OP$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $KLX$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Un círculo con diámetro $BC$ se encuentra con $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ , respectivamente. $M$ es el punto medio de $BC$ y $P$ es el punto de intersección de $AM$ con $EF$ . $X$ es un punto arbitrario en el arco $EF$ e $Y$ es la segunda intersección de $XP$ con un círculo con diámetro $BC$ . Demuestra que $ \measuredangle XAY=\measuredangle XYM $.

En el cuadrilátero $ABCD$ tenemos $ \measuredangle B=\measuredangle D = 60^\circ $ . $M$ es el punto medio del lado $AD$ . La línea que pasa por $M$ paralela a $CD$ se encuentra con $BC$ en $P$ . El punto $X$ se encuentra en $CD$ tal que $BX=MX$ . Demuestra que $AB=BP$ si y sólo si $\measuredangle MXB=60^\circ$.

Sean $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=90^{\circ}$ y $\angle ACB=30^{\circ}$ . Sea $M_1$ el punto medio de $BC$ . Sea $W$ un círculo que pasa por $A$ tangente en $M_1$ a $BC$ . Sea $P$ la circunferencia circunscrita de $ABC$ . $W$ se interseca con $AC$ en $N$ y $P$ en $M$ . Demuestra que $MN$ es perpendicular a $BC$.

Suponga que $A$ es el conjunto de todos los intervalos cerrados $[a,b] \subset \mathbb{R}$. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow A$ tales que $\bullet$ $x \in f(y) \Leftrightarrow y \in f(x)$ $\bullet$ $|x-y|>2 \Leftrightarrow f(x) \cap f(y)=\varnothing$ $\bullet$ Para todos los números reales $0\leq r\leq 1$, $f(r)=[r^2-1,r^2+1]$

Considere una tabla con $n$ filas y $2n$ columnas. Ponemos algunos bloques en algunas de las celdas. Después de colocar bloques en la tabla, colocamos un robot en una celda y comienza a moverse en una de las direcciones: derecha, izquierda, abajo o arriba. Puede cambiar la dirección solo cuando llega a un bloque o borde. Encuentra el número más pequeño $m$ tal que podamos colocar $m$ bloques en la tabla y elegir un punto de partida para el robot para que pueda visitar todas las celdas desbloqueadas. (el robot no puede entrar en las celdas bloqueadas.)