Sea $p$ un número primo impar y sean $a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb Q^+$ números racionales. Demostrar que \[\mathbb Q(\sqrt[p]{a_1}+\sqrt[p]{a_2}+...+\sqrt[p]{a_n})=\mathbb Q(\sqrt[p]{a_1},\sqrt[p]{a_2},...,\sqrt[p]{a_n}).\]

Supongamos que $f(z)=z^n+a_1z^{n-1}+...+a_n$ para el cual $a_1,a_2,...,a_n\in \mathbb C$ . Demostrar que el siguiente polinomio tiene sólo una raíz real positiva como $\alpha$ \qquad \[x^n+\Re(a_1)x^{n-1}-|a_2|x^{n-2}-...-|a_n|\] y el siguiente polinomio tiene sólo una raíz real positiva como $\beta$ \qquad \[x^n-\Re(a_1)x^{n-1}-|a_2|x^{n-2}-...-|a_n|.\] Y las raíces del polinomio $f(z)$ satisfacen $-\beta \le \Re(z) \le \alpha$.

Supongamos que $p$ es un número primo y $a,b,c \in \mathbb Q^+$ son números racionales; a) Demostrar que $\mathbb Q(\sqrt[p]{a}+\sqrt[p]{b})=\mathbb Q(\sqrt[p]{a},\sqrt[p]{b})$ . b) Si $\sqrt[p]{b} \in \mathbb Q(\sqrt[p]{a})$ , demostrar que para un entero no negativo $k$ tenemos $\sqrt[p]{\frac{b}{a^k}}\in \mathbb Q$ . c) Si $\sqrt[p]{a}+\sqrt[p]{b}+\sqrt[p]{c} \in \mathbb Q$ , entonces demostrar que los números $\sqrt[p]{a},\sqrt[p]{b}$ y $\sqrt[p]{c}$ son racionales.

Supongamos que $N\in \mathbb N$ no es un cuadrado perfecto, por lo tanto sabemos que la fracción continua de $\sqrt{N}$ es de la forma $\sqrt{N}=[a_0,\overline{a_1,a_2,...,a_n}]$ . Si $a_1\neq 1$ demostrar que $a_i\le 2a_0$.

Supongamos que $0<m_1<...<m_n$ y $m_i \equiv i (\mod 2)$ . Demostrar que el siguiente polinomio tiene a lo sumo $n$ raíces reales. ( $\forall 1\le i \le n: a_i \in \mathbb R$ ) . \qquad \[a_0+a_1x^{m_1}+a_2x^{m_2}+...+a_nx^{m_n}.\]

a) Demostrar que para todo $m,n\in \mathbb N$ existe un número natural $a$ tal que si coloreamos cada subconjunto de $3$ - elementos del conjunto $\mathcal A=\{1,2,3,...,a\}$ usando $2$ colores rojo y verde, existe un subconjunto de $m$ - elementos de $\mathcal A$ tal que todos los subconjuntos de $3$ - elementos de él son rojos o existe un subconjunto de $n$ - elementos de $\mathcal A$ tal que todos los subconjuntos de $3$ - elementos de él son verdes. b) Demostrar que para todo $m,n\in \mathbb N$ existe un número natural $a$ tal que si coloreamos cada subconjunto de $k$ - elementos ( $k>3$ ) del conjunto $\mathcal A=\{1,2,3,...,a\}$ usando $2$ colores rojo y verde, existe un subconjunto de $m$ - elementos de $\mathcal A$ tal que todos los subconjuntos de $k$ - elementos de él son rojos o existe un subconjunto de $n$ - elementos de $\mathcal A$ tal que todos los subconjuntos de $k$ - elementos de él son verdes.

En un árbol con $n$ vértices, para cada vértice $x_i$ , denotamos los caminos más largos que pasan a través de él por $l_i^1,l_i^2,...,l_i^{k_i}$ . $x_i$ corta esos caminos más largos en dos partes con $(a_i^1,b_i^1),(a_i^2,b_i^2),...,(a_i^{k_i},b_i^{k_i})$ vértices respectivamente. Si $\max_{j=1,...,k_i} \{a_i^j\times b_i^j\}=p_i$ , encontrar los valores máximo y mínimo de $\sum_{i=1}^{n} p_i$.

Supongamos $s,k,t\in \mathbb N$ . Hemos coloreado cada número natural con uno de los $k$ colores, de tal manera que cada color se usa infinitas veces. Queremos elegir un subconjunto $\mathcal A$ de $\mathbb N$ tal que tenga $t$ subconjuntos monocromáticos disjuntos de $s$ - elementos. ¿Cuál es el número mínimo de elementos de $A$ ?

Hemos coloreado las aristas de $K_n$ con $n-1$ colores. Llamamos a un vértice arcoíris si está conectado a todos los colores. ¿Como máximo cuántos arcoíris pueden existir?

Dos rectas fijas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares entre sí en un punto $Y$ . Los puntos $X$ y $O$ están en $l_2$ y ambos están en un lado de la recta $l_1$ . Dibujamos el círculo $\omega$ con centro $O$ y radio $OY$ . Un punto variable $Z$ está en la recta $l_1$ . La recta $OZ$ corta al círculo $\omega$ en $P$ . La paralela a $XP$ desde $O$ interseca a $XZ$ en $S$ . Encontrar el lugar geométrico del punto $S$.