El incírculo del triángulo $ABC$ para el cual $AB\neq AC$ , es tangente a los lados $BC,CA$ y $AB$ en los puntos $D,E$ y $F$ respectivamente. La perpendicular desde $D$ a $EF$ interseca al lado $AB$ en $X$ , y el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $AEF$ y $ABC$ es $T$ . Demostrar que $TX\perp TF$.

Considerar la elipse $\epsilon$ con dos focos $A$ y $B$ tales que las longitudes de su eje mayor y eje menor son $2a$ y $2b$ respectivamente. Desde un punto $T$ fuera de la elipse, dibujamos dos rectas tangentes $TP$ y $TQ$ a la elipse $\epsilon$ . Demostrar que \[\frac{TP}{TQ}\ge \frac{b}{a}.\]

Sea $N$ el punto de Nagel del triángulo $ABC$ . Dibujamos rectas desde $B$ y $C$ a $N$ de modo que estas rectas intersecan a los lados $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$ respectivamente. $M$ y $T$ son los puntos medios de los segmentos $BE$ y $CD$ respectivamente. $P$ es el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $BEN$ y $CDN$ . $l_1$ y $l_2$ son rectas perpendiculares a $PM$ y $PT$ en los puntos $M$ y $T$ respectivamente. Demostrar que las rectas $l_1$ y $l_2$ se intersecan en el circuncírculo del triángulo $ABC$.

Puntos fijos $B$ y $C$ están en un círculo fijo $\omega$ y el punto $A$ varía en este círculo. Llamamos al punto medio del arco $BC$ (que no contiene a $A$ ) $D$ y al ortocentro del triángulo $ABC$ , $H$ . La recta $DH$ interseca al círculo $\omega$ de nuevo en $K$ . La tangente en $A$ al circuncírculo del triángulo $AKH$ interseca a la recta $DH$ y al círculo $\omega$ de nuevo en $L$ y $M$ respectivamente. Demostrar que el valor de $\frac{AL}{AM}$ es constante.

Sea $p$ un número primo. Sabemos que cada número natural puede ser escrito en la forma \[\sum_{i=0}^{t}a_ip^i (t,a_i \in \mathbb N\cup \{0\},0\le a_i\le p-1)\] Únicamente. Ahora sea $T$ el conjunto de todas las sumas de la forma \[\sum_{i=0}^{\infty}a_ip^i (0\le a_i \le p-1).\] (Esto significa permitir números con una base $p$ infinita). Así que los números que para algún $N\in \mathbb N$ todos los coeficientes $a_i, i\ge N$ son cero son números naturales. (De hecho podemos considerar miembros de $T$ como sucesiones $(a_0,a_1,a_2,...)$ para los cuales $\forall_{i\in \mathbb N}: 0\le a_i \le p-1$ . ) Ahora generalizamos la suma y la multiplicación de números naturales a este conjunto de modo que se convierta en un anillo (no es necesario probar este hecho). Por ejemplo: $1+(\sum_{i=0}^{\infty} (p-1)p^i)=1+(p-1)+(p-1)p+(p-1)p^2+...$ $=p+(p-1)p+(p-1)p^2+...=p^2+(p-1)p^2+(p-1)p^3+...$ $=p^3+(p-1)p^3+...=...$ Así que en esta suma, los coeficientes de todos los números $p^k, k\in \mathbb N$ son cero, así que esta suma es cero y por lo tanto podemos concluir que $\sum_{i=0}^{\infty}(p-1)p^i$ está jugando el rol de $-1$ (el inverso aditivo de $1$ ) en este anillo. Como ejemplo de multiplicación considerar \[(1+p)(1+p+p^2+p^3+...)=1+2p+2p^2+\cdots\] Supongamos que $p$ es $1$ módulo $4$ . Demostrar que existe $x\in T$ tal que $x^2+1=0$.

$P(x)$ y $Q(x)$ son dos polinomios con coeficientes enteros tales que $P(x)|Q(x)^2+1$ . a) Demostrar que existen polinomios $A(x)$ y $B(x)$ con coeficientes racionales y un número racional $c$ tal que $P(x)=c(A(x)^2+B(x)^2)$ . b) Si $P(x)$ es un polinomio mónico con coeficientes enteros, Demostrar que existen dos polinomios $A(x)$ y $B(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(x)$ puede ser escrito en la forma de $A(x)^2+B(x)^2$.

$p$ es un número primo impar. Demostrar que existe un número natural $x$ tal que $x$ y $4x$ son ambas raíces primitivas módulo $p$.

Demostrar que existen infinitos pares de números racionales $(\frac{p_1}{q},\frac{p_2}{q})$ con $p_1,p_2,q\in \mathbb N$ con la siguiente condición: \[\left|\sqrt{3}-\frac{p_1}{q}\right|<q^{-\frac{3}{2}}, \left|\sqrt{2}-\frac{p_2}{q}\right|< q^{-\frac{3}{2}}.\]

$P(x)$ es un polinomio no nulo con coeficientes enteros. Demostrar que existen infinitos números primos $q$ tales que para algún número natural $n$ , $q|2^n+P(n)$.

Demostrar que si $n$ es suficientemente grande, en cada cuadrado de $n\times n$ que tiene un número natural escrito en cada una de sus celdas, uno puede encontrar un subcuadrado del cuadrado principal tal que la suma de los números en este subcuadrado es divisible por $1391$.