Demostrar que si $n$ es suficientemente grande, entonces para cada coloración de los subconjuntos del conjunto $\{1,2,...,n\}$ con $1391$ colores, dos subconjuntos no vacíos disjuntos $A$ y $B$ existen tales que $A$ , $B$ y $A\cup B$ son del mismo color.

Supongamos que $W(k,2)$ es el número más pequeño tal que si $n\ge W(k,2)$, para cada coloración del conjunto $\{1,2,...,n\}$ con dos colores existe una progresión aritmética monocromática de longitud $k$. Demostrar que $W(k,2)=\Omega (2^{\frac{k}{2}})$.

Demostrar que para cada coloración de los puntos dentro o en el borde de un cuadrado con $1391$ colores, existe un hexágono regular monocromático.

Demostrar que de una cuadrícula de $n\times n$, se puede encontrar $\Omega (n^{\frac{5}{3}})$ puntos tales que no cuatro de ellos sean vértices de un cuadrado con lados paralelos a las líneas de la cuadrícula. ¡Imagínate a ti mismo como Erdos (!) y adivina cuál es el mejor exponente en lugar de $\frac{5}{3}$ !

Demostrar que si $n$ es suficientemente grande, entre cualquier $n$ puntos del plano podemos encontrar $1000$ puntos tales que estos $1000$ puntos tengan distancias pairwise distintas. ¿Puedes demostrar la afirmación para $n^{\alpha}$ donde $\alpha$ es un número real positivo en lugar de $1000$?

Considerar un conjunto de $n$ puntos en el plano. Demostrar que el número de triángulos isósceles que tienen sus vértices entre estos $n$ puntos es $\mathcal O (n^{\frac{7}{3}})$. Encontrar una configuración de $n$ puntos en el plano tal que el número de triángulos equiláteros con vértices entre estos $n$ puntos es $\Omega (n^2)$.

Demostrar que el número de incidencias de $n$ puntos distintos en $n$ rectas distintas en el plano es $\mathcal O (n^{\frac{4}{3}})$. Encontrar una configuración para la cual $\Omega (n^{\frac{4}{3}})$ incidencias suceden.

Para cualesquiera dos enteros no negativos $n$ y $k$ que satisfacen $n\geq k$ , definimos el número $c(n,k)$ como sigue: - $c\left(n,0\right)=c\left(n,n\right)=1$ para toda $n\geq 0$ ; - $c\left(n+1,k\right)=2^{k}c\left(n,k\right)+c\left(n,k-1\right)$ para $n\geq k\geq 1$ . Demuestra que $c\left(n,k\right)=c\left(n,n-k\right)$ para toda $n\geq k\geq 0$ .

En un triángulo $ABC$ , la bisectriz del ángulo $BAC$ interseca a $BC$ en $D$ . El círculo $\Gamma$ que pasa por $A$ que es tangente a $BC$ en $D$ se encuentra con $AC$ nuevamente en $M$ . La línea $BM$ se encuentra con $\Gamma$ nuevamente en $P$ . Demuestra que la línea $AP$ es una mediana de $\triangle ABD.$

Sean dados $r_1,r_2,\ldots,r_n \in \mathbb R$ . Muestra que existe un subconjunto $I$ de $\{1,2,\ldots,n \}$ que tiene uno o dos elementos en común con los conjuntos $\{i,i + 1,i + 2\} , (1 \leq i \leq n- 2)$ tal que \n\[\left| {\mathop \sum \limits_{i \in I} {r_i}} \right| \geqslant \frac{1}{6}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left| {{r_i}} \right|.\]