Sea $ABC$ un triángulo dado. Considera cualquier pintado de puntos del plano en rojo y verde. Muestra que existen ya sea dos puntos rojos a la distancia $1$ , o tres puntos verdes formando un triángulo congruente al triángulo $ABC$ .

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB = BC, CD = DE$ y $EF = FA$ . Demuestra que \n\[\frac{AB}{BE}+\frac{CD}{AD}+\frac{EF}{CF} \geq \frac{3}{2}.\]

Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un entero $m$ tal que ${2^{n}-1}$ es un divisor de ${m^{2}+9}$ .

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que para toda $x, y,$ \n\[f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4f(x)y.\]

Sean $ M$ y $ N$ dos puntos dentro del triángulo $ ABC$ tales que \n\[ \angle MAB = \angle NAC\quad \mbox{y}\quad \angle MBA = \angle NBC.\n\] Demuestra que \n\[ \frac {AM \cdot AN}{AB \cdot AC} + \frac {BM \cdot BN}{BA \cdot BC} + \frac {CM \cdot CN}{CA \cdot CB} = 1.\n\]

Un juego de un solo jugador se juega en una tabla de $m \times n$ con $m \times n$ nueces. Un lado de las nueces es negro, y el otro lado de ellas es blanco. Al principio del juego, hay una nuez en cada celda de la tabla y todas las nueces tienen su lado blanco hacia arriba excepto una celda en una esquina de la tabla que tiene el lado negro hacia arriba. En cada movimiento, debemos quitar una nuez que tiene su lado negro hacia arriba de la tabla e invertir todas las nueces en las celdas adyacentes (es decir, las celdas que comparten un lado común con la celda de la nuez quitada). Encuentra todos los pares $(m,n)$ para los cuales podemos quitar todas las nueces de la tabla.

Sea $n(r)$ el máximo número posible de puntos con coordenadas enteras en un círculo con radio $r$ en el plano cartesiano. Demuestra que $n(r) < 6\sqrt[3]{3 \pi r^2}.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $E$ y $F$ puntos variables en los lados $AB$ y $CD$ , respectivamente, tales que $AE:EB=CF:FD$ . Sea $P$ el punto en el segmento $EF$ tal que $PE:PF=AB:CD$ . Demuestra que la razón entre las áreas de los triángulos $APD$ y $BPC$ no depende de la elección de $E$ y $F$ .

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb N \to \mathbb N$ tales que para todos los enteros positivos $m,n$ , (i) $mf(f(m))=\left( f(m) \right)^2$ , (ii) Si $\gcd(m,n)=d$ , entonces $f(mn) \cdot f(d)=d \cdot f(m) \cdot f(n)$ , (iii) $f(m)=m$ si y sólo si $m=1$ .

Sean $A,B$ dos matrices con entradas enteras positivas tales que la suma de las entradas de una fila en $A$ es igual a la suma de las entradas de la misma fila en $B$ y la suma de las entradas de una columna en $A$ es igual a la suma de las entradas de la misma columna en $B$ . Muestra que existe una secuencia de matrices $A_1,A_2,A_3,\cdots , A_n$ tal que todas las entradas de la matriz $A_i$ son enteros positivos y en la secuencia \n\[A=A_0,A_1,A_2,A_3,\cdots , A_n=B,\] para cada índice $i$ , existen índices $k,j,m,n$ tales que \n\[\begin{array}{*{20}{c}} \\ {{A_{i + 1}} - {A_{i}} = }\n\end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \quad \quad \ \ j& \ \ {k}\n\end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} m \\ n\n\end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { + 1}&{ - 1} \\ { - 1}&{ + 1}\n\end{array}} \right)}\n\end{array} \ \text{o} \ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \quad \quad \ \ j& \ \ {k}\n\end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} m \\ n\n\end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ + 1} \\ { + 1}&{ - 1}\n\end{array}} \right)}\n\end{array}.\] Es decir, todos los índices de ${A_{i + 1}} - {A_{i}}$ son cero, excepto los índices $(m,j), (m,k), (n,j)$ , y $(n,k)$ .