Sea $ABCD$ un pentágono convexo tal que \n\[\angle DCB = \angle DEA = 90^\circ, \ \text{y} \ DC=DE.\] Sea $F$ un punto en AB tal que $AF:BF=AE:BC$ . Muestra que \n\[\angle FEC= \angle BDC, \ \text{y} \ \angle FCE= \angle ADE.\]

Define la secuencia $(x_n)$ por $x_0 = 0$ y para toda $n \in \mathbb N,$ \[x_n=\begin{cases} x_{n-1} + (3^r - 1)/2,&\mbox{ si } n = 3^{r-1}(3k + 1);\\ x_{n-1} - (3^r + 1)/2, & \\mbox{ si } n = 3^{r-1}(3k + 2).\end{cases}\] donde $k \in \mathbb N_0, r \in \mathbb N$ . Demuestra que cada entero aparece en esta secuencia exactamente una vez.

Suponga que $p$ es un número primo. Encuentre el $n$ más pequeño tal que exista un grupo no abeliano $G$ con $|G|=p^n$ . SL es un acrónimo de Special Lesson. Este año nuestra lección especial fue Grupos y Simetrías.

a) demuestre que cada subgrupo discreto de $(\mathbb R^2,+)$ está en una de estas formas: i - $\{0\}$ . ii - $\{mv|m\in \mathbb Z\}$ para un vector $v$ en $\mathbb R^2$ . iii - $\{mv+nw|m,n\in \mathbb Z\}$ para dos vectores linealmente independientes $v$ y $w$ en $\mathbb R^2$ . (red $L$ ) b) demuestre que cada grupo finito de simetrías que fija el origen y la red $L$ está en una de estas formas: $\mathcal C_i$ o $\mathcal D_i$ que $i=1,2,3,4,6$ ( $\mathcal C_i$ es el grupo cíclico de orden $i$ y $\mathcal D_i$ es el grupo diedral de orden $i$ ) .

Suponga que $G<S_n$ es un subgrupo de permutaciones de $\{1,...,n\}$ con esta propiedad de que para cada $e\neq g\in G$ existe exactamente un $k\in \{1,...,n\}$ tal que $g.k=k$ . Demuestre que existe un $k\in \{1,...,n\}$ tal que para cada $g\in G$ tenemos $g.k=k$ .

Demuestre el tercer teorema de Sylow: suponga que $G$ es un grupo y $|G|=p^em$ que $p$ es un número primo y $(p,m)=1$ . Suponga que $a$ es el número de subgrupos $p$ - Sylow de $G$ ( $H<G$ tal que $|H|=p^e$ ) . Demuestre que $a|m$ y $p|a-1$ . (Pista: puede usar esto: cada dos subgrupos $p$ - Sylow son conjugados.)

Demuestre que el grupo de simetrías que preservan la orientación del cubo es isomorfo a $S_4$ (el grupo de permutaciones de $\{1,2,3,4\}$ ) .

números $n^2+1$ Demuestre que hay infinitos números naturales de la forma $n^2+1$ tales que no tienen ningún divisor de la forma $k^2+1$ excepto $1$ y ellos mismos.

función interesante $S$ es un conjunto con $n$ elementos y $P(S)$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ y $f : P(S) \rightarrow \mathbb N$ es una función con estas propiedades: para cada subconjunto $A$ de $S$ tenemos $f(A)=f(S-A)$ . Para cada dos subconjuntos de $S$ como $A$ y $B$ tenemos $max(f(A),f(B))\ge f(A\cup B)$ demuestre que el número de números naturales como $x$ tales que existe $A\subseteq S$ y $f(A)=x$ es menor que $n$ .

poliedros Llamamos a un $12$ - gon en el plano bueno siempre que: primero, debe ser regular, segundo, su plano interior debe estar lleno!!, tercero, su centro debe ser el origen de las coordenadas, cuarto, sus vértices deben tener puntos $(0,1)$ , $(1,0)$ , $(-1,0)$ y $(0,-1)$ . Encuentre las caras del poliedro más masivo que su imagen en cada tres plano $xy$ , $yz$ y $zx$ es un buen $12$ - gon. (es obvio que los centros de estos tres $12$ - gons son el origen de las coordenadas para tres dimensiones.)