Los números reales $a,b,c$ satisfacen $a+b \ne 0$ , $b+c \ne 0$ y $c+a \ne 0$ . Demuestre que \[\left(\frac{a^2c}{a+b}+\frac{b^2a}{b+c}+\frac{c^2b}{c+a}\right) \cdot \left(\frac{b^2c}{a+b}+\frac{c^2a}{b+c}+\frac{a^2b}{c+a}\right) \ge 0.\]

Determinar el entero más pequeño $n \ge 1$ tal que un cuadrado de $n \times n$ se puede cortar en piezas cuadradas de tamaño $1 \times 1$ y $2 \times 2$ con ambos tipos ocurriendo la misma cantidad de veces.

¿Podemos encontrar un cuadrilátero convexo $ABCD$ con un punto interior $P$ que satisfaga \[AB=AP, \quad BC=BP, \quad CD=CP, \quad \text{y} \quad DA=DP \quad ?\]?

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular con lado de longitud $2$. El punto $M$ es el punto medio de la diagonal $AE$. El pentágono $ABCDE$ se pliega a lo largo de los segmentos $BD$, $BM$ y $DM$ de tal manera que los puntos $A$, $C$ y $E$ coinciden. Como resultado de esta operación, se obtiene un tetraedro. Determine su volumen.

Llamamos a la figura que se muestra en la imagen que consta de cinco cuadrados unitarios un $\emph{plus}$, y a cada rectángulo que consta de dos de tales cuadrados un $\emph{minus}$. ¿Existe un entero impar $n$ con la propiedad de que un cuadrado con lado de longitud $n$ pueda ser diseccionado en pluses y minuses? Justifica tu respuesta.

Los números positivos $a$, $b$, $c$ satisfacen las desigualdades \[a + b \geq ab, \quad b + c \geq bc,\quad\text{y}\quad c+ a \geq ca.\] Pruebe que $\displaystyle a + b + c \geq \frac34abc$.

Cada uno de los números naturales del $1$ al $n$ se colorea de rojo o azul, y cada color se usa al menos una vez. Resulta que: – todo número rojo es una suma de dos números azules distintos; y – todo número azul es una diferencia entre dos números rojos. Determine el valor más pequeño posible de $n$ para el cual existe tal coloración.

Sea $ABCD$ un rectángulo. El punto $E$ está en el lado $AB$, y el punto $F$ está en el segmento $CE$. Demuestre que si los triángulos $ADE$ y $CDF$ tienen áreas iguales, entonces los triángulos $BCE$ y $DEF$ también tienen áreas iguales.

Kamil escribió en una pizarra una expresión que consiste en la suma y resta alternas de números naturales del $1$ al $100$: \[1-2+3-4+5-6+\ldots-98+99-100.\] Entonces, Kamil borró uno de los signos más o menos y lo reemplazó con un signo igual, obteniendo una igualdad verdadera. ¿Qué número precedió al signo borrado? Encuentra todas las posibilidades y justifica tu respuesta.

Dado un rectángulo con perímetro $x$ cm y longitudes de los lados en una razón de $1:2$. Suponga que el área del rectángulo también es $x$ $\text{cm}^2$. Determine todos los valores posibles de $x$.