Sean $a$ , $b$ $c$ los números naturales, tales que cada dígito aparece exactamente el mismo número de veces en cada uno de los números $a$ , $b$ , $c$ . ¿Es posible que $a + b + c = 10^{1001}$ ? Justifica tu respuesta.

En algún torneo hubo $8$ jugadores. Cada dos jugadores jugaron exactamente un partido, cada uno de ellos terminó con la victoria de uno de los jugadores o con un empate. El ganador del partido obtuvo $2$ puntos, su oponente $0$ puntos y en el caso de empate cada jugador obtuvo $1$ punto. Cuando todos los partidos habían terminado, resultó que cada jugador tenía el mismo número de puntos. Determinar el número total mínimo de empates.

Sea $ABCD$ el rectángulo. Los puntos $E$ , $F$ se encuentran en los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, tales que $\sphericalangle EAF = 45^{\circ}$ y $BE = DF$ . Demostrar que el área del triángulo $AEF$ es igual a la suma de las áreas de los triángulos $ABE$ y $ADF$ .

Determinar todas las triples $(x, y, z)$ de números no nulos tales que\n\[xy(x + y) = yz(y + z) = zx(z + x).\]

Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en los lados $AB$ , $BC$ del triángulo $ABC$ , tales que $AC=CP =PQ=QB$ y $A \neq P$ y $C \neq Q$ . Si $\sphericalangle ACB = 104^{\circ}$ , determinar las medidas de todos los ángulos del triángulo $ABC$ .

Determinar todos los números naturales $n$ , tales que sea posible insertar un dígito en el lado derecho de $n$ para obtener $13n$ .

Cada entero ha sido coloreado con uno de tres colores. Demuestra que existen dos números diferentes del mismo color, cuya diferencia es un cuadrado perfecto.

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$ . Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en las diagonales $AC$ y $BD$ , respectivamente, y $\angle APD = \angle BQC$ . Demuestra que $\angle AQD = \angle BPC$ .

Determina todas las ternas de enteros $(x, y, z)$ que son solución del sistema de ecuaciones $\begin{cases} x - yz = 1 \\ xz + y = 2 \end{cases}$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC \neq BC$ . El punto $K$ es el pie de la altura desde el vértice $C$ . El punto $O$ es el circuncentro de $ABC$ . Demuestra que las áreas de los cuadriláteros $AKOC$ y $BKOC$ son iguales.