En el triángulo $ABC$ , ( $AB \ne AC$ ) , sea el ortocentro $H$ , el circuncentro $O$ , y el punto medio de $BC$ es $M$ . Sea $HM \cap AO = D$ . Sean $P,Q,R,S$ los puntos medios de $AB,CD,AC,BD$ . Sea $X = PQ\cap RS$ . Encuentra $AH/OX$ .

Para un entero positivo $n$ , ( $n\ge 2$ ) , encuentra el número de conjuntos con $2n + 1$ puntos $P_0, P_1,..., P_{2n}$ en el plano coordenado que satisfacen lo siguiente como sus elementos: - $P_0 = (0, 0),P_{2n}= (n, n)$ - Para todo $i = 1,2,..., 2n - 1$ , la línea $P_iP_{i+1}$ es paralela al eje $x$ o al eje $y$ y su longitud es $1$ . - De las $2n$ líneas $P_0P_1, P_1P_2,..., P_{2n-1}P_{2n}$ , hay exactamente $4$ líneas que están encerradas en el dominio $y \le x$ .

Sean $x, y$ enteros positivos tales que $gcd(x, y) = 1$ y $x + 3y^2$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que $x^2 + 9y^4$ no puede ser un cuadrado perfecto.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $O$ . Sea la tangente a $O$ en $A$ que se encuentra con $BC$ en $S$ , y la tangente a $O$ en $B$ que se encuentra con $CD$ en $T$ . El círculo con $S$ como su centro y pasando por $A$ se encuentra con $BC$ en $E$ , y $AE$ se encuentra con $O$ nuevamente en $F(\ne A)$ . El círculo con $T$ como su centro y pasando por $B$ se encuentra con $CD$ en $K$ . Sea $P = BK \cap AC$ . Demuestra que $P,F,D$ son colineales si y solo si $AB = AP$ .

Sean los números reales $a$ , $b$ , $c$ los cuales son diferentes de $1$ que satisfacen las siguientes condiciones; (1) $abc =1$ (2) $a^2+b^2+c^2 - \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) = 8(a+b+c) - 8 (ab+bc+ca)$ Encuentra todos los valores posibles de la expresión $\dfrac{1}{a-1} + \dfrac{1}{b-1} + \dfrac{1}{c-1}$ .

Sea $p_n$ el $n^{\mbox{th}}$ primo contando desde el primo más pequeño $2$ en orden creciente. Por ejemplo, $p_1=2, p_2=3, p_3 =5, \cdots$\n(a) Para un $n \ge 10$ dado , sea $r$ el entero más pequeño que satisface\n\[2\le r \le n-2, \quad n-r+1 < p_r\]\ny defina $N_s=(sp_1p_2\cdots p_{r-1})-1$ para $s=1,2,\ldots, p_r$ . Demuestre que existe $j, 1\le j \le p_r$ , tal que ninguno de $p_1,p_2,\cdots, p_n$ divide a $N_j$ .\n(b) Usando el resultado de (a), encuentre todos los enteros positivos $m$ para los cuales\n\[p_{m+1}^2 < p_1p_2\cdots p_m\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $\omega$ su circuncírculo. Sea la línea perpendicular de $A$ a $BC$ que se encuentra con $\omega$ en $D$ . Sea $P$ un punto en $\omega$ , y sea $Q$ el pie de la línea perpendicular de $P$ a la línea $AB$ . Demuestre que si $Q$ está en el exterior de $\omega$ y $2\angle QPB = \angle PBC$ , entonces $D,P,Q$ son colineales.

Para $n \ge 3$ , sean $S=a_1+a_2+\cdots+a_n$ y $T=b_1b_2\cdots b_n$ para números reales positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n, b_1,b_2 ,\ldots,b_n$ , donde los números $b_i$ son distintos por pares.\n(a) Encuentre el número de ceros reales distintos del polinomio\n\[f(x)=(x-b_1)(x-b_2)\cdots(x-b_n)\sum_{j=1}^n \frac{a_j}{x-b_j}\]\n(b) Demuestre la desigualdad\n\[\frac1{n-1}\sum_{j=1}^n \left(1-\frac{a_j}{S}\right)b_j > \left(\frac{T}{S}\sum_{j=1}^{n} \frac{a_j}{b_j}\right)^{\frac1{n-1}}\]

Los siguientes hechos son conocidos en un concurso de matemáticas:\n(a) El número de problemas evaluados fue $n\ge 4$\n(b) Cada problema fue resuelto por exactamente cuatro concursantes.\n(c) Para cada par de problemas, hay exactamente un concursante que resolvió ambos problemas.\nSuponiendo que el número de concursantes es mayor o igual a $4n$ , encuentre el valor mínimo de $n$ para el cual siempre existe un concursante que resolvió todos los problemas.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que satisfacen $f(x-y)=f(x)+xy+f(y)$ para todo $x \in \mathbb{R}$ y todo $y \in \{f(x) \mid x\in \mathbb{R}\}$, donde $\mathbb{R}$ es el conjunto de los números reales.