Tres secuencias ${a_n},{b_n},{c_n}$ satisfacen las siguientes condiciones. $a_1=2,\,b_1=4,\,c_1=5$ $\forall n,\; a_{n+1}=b_n+\frac{1}{c_n}, \, b_{n+1}=c_n+\frac{1}{a_n}, \, c_{n+1}=a_n+\frac{1}{b_n}$ Demuestra que para todos los enteros positivos $n$ , $ $ $ $ $max(a_n,b_n,c_n)>\sqrt{2n+13}$ .

para un entero positivo $n$ , hay enteros positivos $a_1, a_2, ... a_n$ que satisfacen estas dos. (1) $a_1=1, a_n=2020$ (2) para todo entero $i$ , $i$ satisface $2\leq i\leq n, a_i-a_{i-1}=-2$ o $3$ . encuentra el mayor $n$

Sean $a, b, c, d, e$ números reales que satisfacen las siguientes condiciones. \[a \le b \le c \le d \le e, \quad a+e=1, \quad b+c+d=3, \quad a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=14\] Determina el valor máximo posible de $ae$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$ con $\overline{AB} > \overline{AC}$ , sean $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$ , respectivamente. Sea $P$ una intersección de las líneas $EF$ y $BC$ , y sea $Q$ un punto en el segmento $BD$ tal que $\angle QFD = \angle EPC$ . Sean $O, H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$ , respectivamente. Suponga que $OH$ es perpendicular a $AQ$ . Demuestra que $P, O, H$ son colineales.

La permutación $\sigma$ que consta de cuatro palabras $A,B,C,D$ tiene $f_{AB}(\sigma)$ , la suma del número de $B$ colocados a la derecha de cada $A$ . Podemos definir $f_{BC}(\sigma)$ , $f_{CD}(\sigma)$ , $f_{DA}(\sigma)$ de la misma manera también. Por ejemplo, $\sigma=ACBDBACDCBAD$ , $f_{AB}(\sigma)=3+1+0=4$ , $f_{BC}(\sigma)=4$ , $f_{CD}(\sigma)=6$ , $f_{DA}(\sigma)=3$ Encuentra el valor máximo de $f_{AB}(\sigma)+f_{BC}(\sigma)+f_{CD}(\sigma)+f_{DA}(\sigma)$ , cuando $\sigma$ consta de $2020$ letras para cada $A,B,C,D$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Omega$ y $\overline{AB} < \overline{AC}$ . La bisectriz del ángulo $A$ se encuentra con $\Omega$ de nuevo en $D$ , y la línea que pasa por $D$ , perpendicular a $BC$ se encuentra con $\Omega$ de nuevo en $E$ . El círculo centrado en $A$ , que pasa por $E$ se encuentra con la línea $DE$ de nuevo en $F$ . Sea $K$ el circuncírculo del triángulo $ADF$ . Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$ .

El entero n es un número expresado como la suma de un número par de enteros positivos diferentes menores o iguales que 2000. 1+2+ · · · +2000 Encuentra todos los siguientes enteros positivos que no pueden ser el valor de n.

Hay $n$ estudiantes cada uno con $r$ enteros positivos. Sus $nr$ enteros positivos son todos diferentes. Demuestra que podemos dividir a los estudiantes en $k$ clases que satisfacen las siguientes condiciones: (a) $k \le 4r$ (b) Si un estudiante $A$ tiene el número $m$ , entonces el estudiante $B$ en la misma clase no puede tener un número $\ell$ tal que $(m - 1)! < \ell < (m + 1)! + 1$

Para aquellos números reales $x_1 , x_2 , \ldots , x_{2011}$ donde cada uno de los cuales satisface $0 \le x_1 \le 1$ ( $i = 1 , 2 , \ldots , 2011$ ) , encuentra el máximo de \[ x_1^3+x_2^3+ \cdots + x_{2011}^3 - \left( x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots + x_{2011}x_1x_2 \right) \]

Para un entero positivo $n$ , define el conjunto $S_n$ como $S_n =\{(a, b)|a, b \in N, mcm[a, b] = n\}$ . Sea $f(n)$ la suma de $\phi (a)\phi (b)$ para todo $(a, b) \in S_n$ . Si un primo $p$ relativamente primo a $n$ es un divisor de $f(n)$ , demuestra que existe un primo $q|n$ tal que $p|q^2 - 1$ .