Los puntos $A,B,C,D,E$ se encuentran en un orden antihorario en un círculo $O$, y $AC = CE$. Sea $P=BD \cap AC$, $Q=BD \cap CE$. Sea $O_1$ el círculo que es tangente a $\overline {AP}, \overline {BP}$ y al arco $AB$ (que no contiene a $C$). Sea $O_2$ el círculo que es tangente a $\overline {DQ}, \overline {EQ}$ y al arco $DE$ (que no contiene a $C$). Sean $O_1 \cap O = R, O_2 \cap O = S, RP \cap QS = X$. Demuestra que $XC$ biseca $\angle ACE$

Tenemos $x_i >i$ para todo $1 \le i \le n$. Encuentra el valor mínimo de $\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)^2}{\sum_{i=1}^n \sqrt{x^2_i - i^2}}$

Sea $V=[(x,y,z)|0\le x,y,z\le 2008]$ un conjunto de puntos en un espacio 3-D. Si la distancia entre dos puntos es $1, \sqrt{2}, 2$, coloreamos los dos puntos de manera diferente. ¿Cuántos colores se necesitan para colorear todos los puntos en $V$?

$p$ es un número primo tal que su residuo dividido por 8 es 3. Encuentra todos los pares de números racionales $(x,y)$ que satisfacen la siguiente ecuación. $$p^2 x^4-6px^2+1=y^2$$

Suponga que la secuencia $\{a_n\}$ de reales positivos satisface las siguientes condiciones: $a_i \leq a_j$ para cada entero positivo $i <j$ . Para cualquier entero positivo $k \geq 3$ , se cumple la siguiente desigualdad: $$(a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdots(a_{k-1}+a_k)(a_k+a_1)\leq (2^k+2022)a_1a_2\cdots a_k$$ Demuestra que $\{a_n\}$ es constante.

$n(\geq 4)$ islas están conectadas por puentes para satisfacer las siguientes condiciones: Cada puente conecta solo dos islas y no atraviesa otras islas. Hay como máximo un puente que conecta dos islas diferentes cualesquiera. No existe una lista $A_1, A_2, \ldots, A_{2k}(k \geq 2)$ de islas distintas que satisfagan lo siguiente: Para cada $i=1, 2, \ldots, 2k$ , las dos islas $A_i$ y $A_{i+1}$ están conectadas por un puente. (Sea $A_{2k+1}=A_1$ ) Demuestra que el número de puentes es como máximo $\frac{3(n-1)}{2}$ .

Para un triángulo escaleno $ABC$ con un incentro $I$ , sea su incírculo que se encuentra con los lados $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ , respectivamente. Denote por $P$ la intersección de las líneas $AI$ y $DF$ , y $Q$ la intersección de las líneas $BI$ y $EF$ . Demuestra que $\overline{PQ}=\overline{CD}$ .

Para enteros positivos $m, n$ ( $m>n$ ) , $a_{n+1}, a_{n+2}, ..., a_m$ son enteros no negativos que satisfacen la siguiente desigualdad. $$ 2> \frac{a_{n+1}}{n+1} \ge \frac{a_{n+2}}{n+2} \ge \cdots \ge \frac{a_m}{m}$$ Encuentra el número de pares $(a_{n+1}, a_{n+2}, \cdots, a_m)$ .

Suponga que la secuencia $\{a_n\}$ de enteros positivos satisface las siguientes condiciones: Para un entero $i \geq 2022$ , defina $a_i$ como el entero positivo más pequeño $x$ tal que $x+\sum_{k=i-2021}^{i-1}a_k$ es un cuadrado perfecto. Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $a_n=4\times 2022-3$ . Demuestra que existe un entero positivo $N$ tal que $\sum_{k=n}^{n+2021}a_k$ es constante para cada entero $n \geq N$ . Y determine el valor de $\sum_{k=N}^{N+2021}a_k$ .

En un triángulo escaleno $ABC$ , sea la bisectriz del ángulo $A$ que se encuentra con el lado $BC$ en $D$ . Sean $E, F$ los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ADC$ , respectivamente. Suponga que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDE$ y $DCF$ se intersecan en $P(\neq D)$ , y denote por $O, X, Y$ los circuncentros de los triángulos $ABC, BDE, DCF$ , respectivamente. Demuestra que $OP$ y $XY$ son paralelos.