Encuentre el entero positivo más pequeño \( k \geq 2 \) para el cual existe un polinomio \( f(x) \) de grado \( k \) con coeficientes enteros y un coeficiente principal de \( 1 \) que satisface la siguiente condición: (Condición) Para dos enteros cualesquiera \( m \) y \( n \) , si \( f(m) - f(n) \) es un múltiplo de \( 31 \) , entonces \( m - n \) es un múltiplo de \( 31 \) .

Sea \( S \) un conjunto que consiste en \( 2024 \) puntos en un plano, tal que no hay tres puntos en \( S \) que sean colineales. Una línea \( \ell \) que pasa por dos puntos en \( S \) se llama una 'línea débilmente balanceada' si satisface la siguiente condición: (Condición) La línea \( \ell \) divide el plano en dos regiones, una que contiene exactamente \( 1010 \) puntos de \( S \), y la otra que contiene exactamente \( 1012 \) puntos de \( S \) (donde cada región no contiene puntos que se encuentren en \( \ell \) ) . Sea \( \omega(S) \) denota el número de líneas débilmente balanceadas entre las líneas que pasan por dos puntos en \( S \) . Encuentre el valor posible más pequeño de \( \omega(S) \) .

Para una secuencia de enteros positivos $\{x_n\}$ donde $x_1 = 2$ y $x_{n + 1} - x_n \in \{0, 3\}$ para todos los enteros positivos $n$, entonces $\{x_n\}$ se llama una 'secuencia de rana'. Encuentre todos los números reales $d$ que satisfacen la siguiente condición. (Condición) Para dos secuencias de rana $\{a_n\}, \{b_n\}$, si existe un entero positivo $n$ tal que $a_n = 1000b_n$, entonces existe un entero positivo $m$ tal que $a_m = d\cdot b_m$.

Sea un círculo con centro $O$, y tres puntos distintos $A, B, X$ en el círculo, donde $A, B, O$ no son colineales. Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $ABO$. Los segmentos $AX, BX$ intersecan a $\Omega$ en los puntos $C(\neq A), D(\neq B)$, respectivamente. Demuestre que $O$ es el ortocentro del triángulo $CXD$.

Hay puntos distintos $A_1, A_2, \dots, A_{2n}$ sin tres colineales. Demuestra que uno puede reetiquetar los puntos con las etiquetas $B_1, \dots, B_{2n}$ tal que para cada $1 \le i < j \le n$ los segmentos $B_{2i-1} B_{2i}$ y $B_{2j-1} B_{2j}$ no se intersecan y la siguiente desigualdad se cumple. \[ B_1 B_2 + B_3 B_4 + \dots + B_{2n-1} B_{2n} \ge \frac{2}{\pi} (A_1 A_2 + A_3 A_4 + \dots + A_{2n-1} A_{2n}) \]

Una secuencia infinita $\{ a_n \}_{n \ge 0}$ de números reales satisface $a_n \ge n^2$. Supón que para cada $i, j \ge 0$ existen $k, l$ con $(i,j) \neq (k,l)$, $l - k = j - i$, y $a_l - a_k = a_j - a_i$. Demuestra que $a_n \ge (n + 2016)^2$ para algún $n$.

Se da un conjunto finito $S$ de enteros positivos. Demuestra que existe un entero positivo $N$ que depende solo de $S$, tal que cualquier $x_1, \dots, x_m \in S$ cuya suma es un múltiplo de $N$, puede ser particionada en grupos cada uno de los cuales su suma es exactamente $N$. (Los números $x_1, \dots, x_m$ no necesitan ser distintos.)

Encuentra el $n$ máximo posible, donde $A_1, \dots, A_n \subseteq \{1, 2, \dots, 2016\}$ satisfacen las siguientes propiedades. - Para cada $1 \le i \le n$, $\lvert A_i \rvert = 4$. - Para cada $1 \le i < j \le n$, $\lvert A_i \cap A_j \rvert$ es par.

Se dan dos enteros $0 < k < n$ y números reales distintos $a_1, a_2, \dots ,a_n$. Define los conjuntos como lo siguiente, donde todos los índices son módulo $n$. \begin{align*} A &= \{ 1 \le i \le n : a_i > a_{i-k}, a_{i-1}, a_{i+1}, a_{i+k} \text{ o } a_i < a_{i-k}, a_{i-1}, a_{i+1}, a_{i+k} \\} \\ B &= \{ 1 \le i \le n : a_i > a_{i-k}, a_{i+k} \text{ y } a_i < a_{i-1}, a_{i+1} \\} \\ C &= \{ 1 \le i \le n ; a_i > a_{i-1}, a_{i+1} \text{ y } a_i < a_{i-k}, a_{i+k} \\} \end{align*} Demuestra que $\lvert A \rvert \ge \lvert B \rvert + \lvert C \rvert$.

Sea $p > 10^9$ un número primo tal que $4p + 1$ también es primo. Demuestra que la expansión decimal de $\frac{1}{4p+1}$ contiene todos los dígitos $0,1, \ldots, 9$.