Los números reales $a,b,c,x,y,$ y $z$ son tales que $a>b>c>0$ y $x>y>z>0$ . Demuestre que \ [\frac {a^2x^2}{(by+cz)(bz+cy)}+\frac{b^2y^2}{(cz+ax)(cx+az)}+\frac{c^2z^2}{(ax+by)(ay+bx)}\ge \frac{3}{4}\]

Demuestre que un rectángulo de $m \times n$ se puede construir usando copias de la siguiente forma si y sólo si $mn$ es un múltiplo de $8$ donde $m>1$ y $n>1$ [asy] draw ((0,0)--(0,1)); draw ((0,0)--(1.5,0)); draw ((0,1)--(.5,1)); draw ((.5,1)--(.5,0)); draw ((0,.5)--(1.5,.5)); draw ((1.5,.5)--(1.5,0)); draw ((1,.5)--(1,0)); [/asy]

Sea $p$ un primo tal que $p \equiv 1 (\text {mod}4)$ . Evalúe \ [\sum_{k=1}^{p-1} \left( \left \lfloor \frac{2k^2}{p}\right \rfloor - 2 \left \lfloor {\frac{k^2}{p}}\right \rfloor \right)\]

Un rectángulo $ABCD$ está inscrito en un círculo con centro $O$ . Las bisectrices exteriores de $\angle ABD$ y $\angle ADB$ se intersecan en $P$ ; las de $\angle DAB$ y $\angle DBA$ se intersecan en $Q$ ; las de $\angle ACD$ y $\angle ADC$ se intersecan en $R$ ; y las de $\angle DAC$ y $\angle DCA$ se intersecan en $S$ . Demuestre que $P,Q,R$ , y $S$ son concíclicos.

Determine todas las funciones $f$ del conjunto de los números reales en sí mismo tales que para cada $x$ e $y$ , \ [f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y)) \ ]

Demuestre que para cualquier primo $p$ , existen enteros $x,y,z,$ y $w$ tales que $x^2+y^2+z^2-wp=0$ y $0<w<p$

En una pizarra, hay $10$ números escritos: $1, 2, \dots, 10$. Nahyun realiza repetidamente las siguientes operaciones. (Operación) Nahyun elige dos números de los 10 números en la pizarra que no están en una relación divisor-múltiplo, los borra y escribe su MCD y MCM en la pizarra. Si cada dos números en la pizarra forman una relación divisor-múltiplo, Nahyun detiene el proceso. ¿Cuál es el número máximo de operaciones que Nahyun puede realizar? (Nota: $a, b$ están en una relación divisor-múltiplo si y solo si $a \mid b$ o $b \mid a$. )

En un triángulo acutángulo $ABC$, sea una línea $\ell$ que pasa por el ortocentro y no por el punto $A$. La línea $\ell$ interseca la línea $BC$ en $P(\neq B, C)$. Una línea que pasa por $A$ y es perpendicular a $\ell$ se encuentra con el circuncírculo del triángulo $ABC$ en $R(\neq A)$. Sean los pies de las perpendiculares desde $A, B$ a $\ell$ sean $A', B'$, respectivamente. Defina la línea $\ell_1$ como la línea que pasa por $A'$ y es perpendicular a $BC$, y la línea $\ell_2$ como la línea que pasa por $B'$ y es perpendicular a $CA$. Demuestre que si $Q$ es la reflexión de la intersección de $\ell_1$ y $\ell_2$ a través de $\ell$, entonces $\angle PQR = 90^{\circ}$.

Para un entero positivo $n$, sea $g(n) = \left[ \displaystyle \frac{2024}{n} \right]$. Encuentre el valor de $$\sum_{n = 1}^{2024}\left(1 - (-1)^{g(n)}\right)\phi(n).$$

Encuentre el número real más pequeño $M$ tal que $$\sum_{k = 1}^{99}\frac{a_{k+1}}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}} < M$$ para todos los números reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_{99}$. ( $a_{100} = a_1, a_{101} = a_2$ )