Sea dado un triángulo $ABC$ con $BC = a, CA = b, AB = c$. Encuentra el punto $P$ en el plano para el cual $aAP^{2}+bBP^{2}+cCP^{2}$ es mínimo, y calcula este mínimo.

Considera una matriz de $9 \times 9$ de cuadrados blancos. Encuentra el mayor $n \in\mathbb N$ con la propiedad: No importa cómo uno elija $n$ de 81 cuadrados blancos y los coloree de negro, siempre permanece una matriz de $1 \times 4$ de cuadrados blancos (ya sea vertical u horizontal).

Sean a, b, c, d, y e enteros positivos. ¿Hay alguna solución a $a^2+b^3+c^5+d^7=e^{11}$ ?

Hay $3$ estudiantes de Corea, China y Japón, por lo que un total de $9$ estudiantes están presentes. ¿De cuántas maneras hay de hacer que se sienten en una mesa circular, con sillas iguales e igualmente espaciadas, de tal manera que los estudiantes del mismo país no se sienten uno al lado del otro? Si el array $A$ puede convertirse en el array $B$ por rotación, estos dos arrays se consideran iguales.

Si los reales positivos $a,b,c,d$ satisfacen $abcd = 1.$ Demuestra la siguiente desigualdad $$1<\frac{b}{ab+b+1}+\frac{c}{bc+c+1}+\frac{d}{cd+d+1}+\frac{a}{da+a+1}<2.$$

El triángulo acutángulo $\triangle ABC$ satisface $AB < AC$ . Sea $O$ la circunferencia circunscrita de este triángulo, y los puntos medios de $BC,CA,AB$ sean $D,E,F$ . Sea $P$ la intersección del círculo con $AB$ como su diámetro y la línea $DF$ , que está en el mismo lado de $C$ con respecto a $AB$ . Sea $Q$ la intersección del círculo con $AC$ como su diámetro y la línea $DE$ , que está en el mismo lado de $B$ con respecto a $AC$ . Sea $PQ \cap BC = R$ , y sea la línea que pasa por $R$ y es perpendicular a $BC$ que se encuentra con $AO$ en $X$ . Demuestra que $AX = XR$ .

Hay $n$ clubes compuestos por $4$ estudiantes de entre los $9$ estudiantes. Para dos clubes arbitrarios, no hay más de $2$ estudiantes que sean miembros de ambos clubes. Demuestra que $n\le 18$ .

Para dos reales arbitrarios $x, y$ que son mayores que $0$ y menores que $1.$ Demuestra que $$\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{1-x}+\frac{(1-x-y)^2}{1-y}\geq\frac{1}{2}.$$

En un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ , sean $A',B',C'$ el reflejo de $A,B,C$ con respecto a $BC,CA,AB$ . Sean $D = B'C \cap BC'$ , $E = CA' \cap C'A$ , $F = A'B \cap AB'$ . Demuestra que $AD,BE,CF$ son concurrentes

Para los primos $a, b,c$ que satisfacen lo siguiente, calcula $abc$ .\n$\bullet$ $b + 8$ es un múltiplo de $a$ ,\n$\bullet$ $b^2 - 1$ es un múltiplo de $a$ y $c$\n$\bullet$ $b + c = a^2 - 1$ .