Sea una figura con $9$ discos y $11$ aristas, como se muestra a continuación. Escribiremos un número real en todos y cada uno de los discos. Luego, para cada arista, escribiremos el cuadrado de la diferencia entre los dos números reales escritos en los dos discos que conecta la arista. Debemos escribir $0$ en el disco $A$ , y $1$ en el disco $I$ . Encuentra la suma mínima de todos los números reales escritos en $11$ aristas.

Sea un triángulo escaleno agudo $ABC$ con circuncentro $O$ . Denotemos $D,E$ como la reflexión de $O$ con respecto a $AB,AC$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $ADE$ se encuentra con $AB$ , $AC$ , la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $K,L,M$ , respectivamente, y todos son distintos de $A$ . Demuestra que las líneas $BC,KL,AM$ son concurrentes.

Para un entero positivo $n$ , denotemos $p(n)$ como el número de tuplas de enteros no negativos $(x,y,z,w)$ tal que $x+2y+2z+3w=n$ . Además, denotemos $q(n)$ como el número de tuplas de enteros no negativos $(a,b,c,d)$ tal que (i) $a+b+c+d=n$ (ii) $a \ge b \ge d$ (iii) $a \ge c \ge d$ Demuestra que para todo $n$ , $p(n) = q(n)$ .

Sea un triángulo escaleno $ABC$ , y denotemos $M$ al punto medio de $BC$ . La bisectriz perpendicular de $BC$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $P$ , en el mismo lado con $A$ con respecto a $BC$ . Sean los incentros de $ABM$ y $AMC$ $I,J$ , respectivamente. Sea $\angle BAC=\alpha$ , $\angle ABC=\beta$ , $\angle BCA=\gamma$ . Encuentra $\angle IPJ$ .

Encuentra todos los enteros positivos $N$ que tienen no menos de $4$ divisores positivos, tal que la suma de los cuadrados de los $4$ divisores positivos más pequeños de $N$ es igual a $N$ .

Sea $f$ una función cuadrática que satisface la siguiente condición. Encuentra el valor de $\frac{f(8)-f(2)}{f(2)-f(1)}$ . Para dos números reales distintos $a,b$ , si $f(a)=f(b)$ , entonces $f(a^2-6b-1)=f(b^2+8)$ .

Considera un triángulo $ABC$ con $BC = a, CA = b, AB = c.$ Sea $D$ el punto medio de $BC$ y $E$ la intersección de la bisectriz de $A$ con $BC$ . El círculo que pasa por $A, D, E$ se encuentra con $AC, AB$ nuevamente en $F, G$ respectivamente. Sea $H\not = B$ un punto en $AB$ con $BG = GH$ . Demuestra que los triángulos $EBH$ y $ABC$ son similares y encuentra la razón de sus áreas.

Dado $n \in\mathbb{N}$ , encuentra todas las funciones continuas $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que para todo $x\in\mathbb{R},$ $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f(x^{2^{k}})=0$.

Un entero que es el área de un triángulo rectángulo con lados enteros se llama pitagórico. Demuestra que para cada entero positivo $n > 12$ existe un número pitagórico entre $n$ y $2n$.

Encuentra el menor $x \in\mathbb{N}$ para el cual $\frac{7x^{25}-10}{83}$ es un entero.