Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $ H $ el pie de la perpendicular desde $ A $ hasta $ BC $ . $ D, E $ son los puntos en $ AB, AC $ y sean $ F, G $ los pies de la perpendicular desde $ D, E $ hasta $ BC $ . Suponga que $ DG \cap EF $ está en $ AH $ . Sea $ P $ el pie de la perpendicular desde $ E $ hasta $ DH $ . Demostrar que $ \angle APE = \angle CPE $ .

$ A_1 , A_2 , \cdots , A_n $ son subconjuntos dados. Sea $ S = \left\{ 1, 2, \cdots , n \right\} $ . Para cualquier $ X \subset S $ , sea \[ N(X)= \left\{ i \in S-X \ | \ \forall j \in X, \ A_i \cap A_j \ne \emptyset \right\} \] Sea $ m $ un entero tal que $ 3 \le m \le n-2 $ . Demostrar que existe $ X \subset S $ tal que $ |X|=m $ y $ |N(X)| \ne 1 $ .

Para un triángulo $ ABC $ tal que $ \angle B \ne 90^{\circ} $ y $ AB \ne AC $ , defina $ P_{ABC} $ de la siguiente manera; Sea $ I $ el incentro del triángulo $ABC$ , y sean $ D, E, F $ los puntos de intersección con el incírculo y los segmentos $ BC, CA, AB $ . Dos líneas $ AB $ y $ DI $ se encuentran en $ S $ y sea $ T $ el punto de intersección de la línea $ DE $ y la línea que es perpendicular a $ DF $ en $ F $ . La línea $ ST $ interseca la línea $ EF $ en $ R$ . Ahora defina $ P_{ABC} $ como uno de los puntos de intersección del incírculo y el círculo con diámetro $ IR $ , que se encuentra en el otro lado con $ A $ sobre $ IR $ . Ahora piense en un triángulo isósceles $ XYZ $ tal que $ XZ = YZ > XY $ . Sea $ W $ el punto en el lado $ YZ $ tal que $ WY < XY $ y sea $ K = P_{YXW} $ y $ L = P_{ZXW} $ . Demostrar que $ 2 KL \le XY $ .

Sean $ x, y, z $ números reales positivos. Demostrar que \[ \frac{2x^2 + xy}{(y+ \sqrt{zx} + z )^2} + \frac{2y^2 + yz}{(z+ \sqrt{xy} + x )^2} + \frac{2z^2 + zx}{(x+ \sqrt{yz} +y )^2} \ge 1 \]

Un conejo se coloca en un tablero de ajedrez de $2n\times 2n$. Cada vez, el conejo se mueve a uno de los cuadrados adyacentes. (Adyacente significa compartir un borde). Se sabe que el conejo pasó por cada cuadrado y regresó al lugar donde comenzó el conejo, y el camino del conejo forma un polígono $\mathcal{P}$ . Encuentre el número máximo posible de los vértices de $\mathcal{P}$ . Por ejemplo, la respuesta para el caso $n=2$ sería $12$ .

Encontrar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para todo número positivo $n$ y primo $p$ que satisfacen $p\nmid nP(n)$ , tenemos $ord_p(n)\ge ord_p(P(n))$ .

$\omega_1,\omega_2$ son círculos ortogonales, y sus intersecciones son $P,P'$ . Otro círculo $\omega_3$ se encuentra con $\omega_1$ en $Q,Q'$ , y $\omega_2$ en $R,R'$ . (Los puntos $Q,R,Q',R'$ están en orden horario). Suponga que $P'R$ y $PR'$ se encuentran en $S$ , y sea $T$ el circuncentro de $\triangle PQR$ . Demuestre que $T,Q,S$ son colineales si y solo si $O_1,S,O_3$ son colineales. ( $O_i$ es el centro de $\omega_i$ para $i=1,2,3$ . )

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ tales que si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, y $r$ es el radio de su incírculo, entonces $f(a),f(b),f(c)$ también forman un triángulo donde su radio del incírculo es $f(r)$ .

Para cada conjunto $S$ con $n(\ge3)$ enteros distintos, muestra que existe una función $f:\{1,2,\dots,n\}\rightarrow S$ que satisface las siguientes dos condiciones. (i) $\{ f(1),f(2),\dots,f(n)\} = S$ (ii) $2f(j)\neq f(i)+f(k)$ para todo $1\le i<j<k\le n$ .

Encuentra todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que $7^m=5^n+24$ .